¿Cuál es la dimensión mínima de un complejo que realiza una representación grupal?

Question

Esta pregunta es inspirado por este, que era acerca de las representaciones que se pueden realizar homologically por una acción en un gráfico (es decir, un 1-dimensional complejo).

Muchas interesantes integral de las representaciones de los grupos surgen de un grupo que actúa en un complejo simplicial que es homotopy equivalente a una cuña de esferas, mediante la aplicación de homología. Un ejemplo clásico es la acción de grupos de Lie tipo esférico en los edificios. En la homología esto le da una forma integral de Steinberg representación.

Uno se puede preguntar si existe un complejo de menor dimensión que las Tetas de construcción que da cuenta de la (integral) Steinberg representación de esta manera. Espero que la respuesta es No, pero, ¿cómo demostrarlo?

Más en general, dado un integrante $G$-representación que puede ser comprendido como la homología de un esférico complejo con una acción de $G$, existe un límite inferior en la dimensión de tan complejo? Un evidente límite inferior está dado por la longitud mínima de una resolución por la permutación de las representaciones. Es esto algo que ha sido estudiado?

Answer 1

Esto no responde a Greg pregunta, pero está relacionado. Usted puede darse cuenta de cualquier $\mathbb{Z}G$-módulo que como $H_1$ de un 2-complejo, o como $H_2$ 3 complejo si usted insistir en que el complejo debe ser simplemente conectado. Además, puede exigir $G$ a actuar libremente en el complejo excepto para la fijación del punto de base.

Dado un $\mathbb{Z}G$-módulo de $M$, tomar una presentación para $M$, es decir, una secuencia exacta $F_1\rightarrow F_0\rightarrow M\rightarrow 0$ en el que cada una de las $F_i$ es un servicio gratuito de $\mathbb{Z}G$-módulo. Ahora usted puede darse cuenta de $F_0$ como 2º de homología de una cuña de 2-esferas con $G$ a actuar libremente, excepto en el punto de base.

Puede adjuntar un discontinuo de la unión de 3 bolas permutada libremente por $G$ (con $H_0$ isomorfo a $F_1$) de tal manera que el celular de la cadena de complejo está a sólo $F_1\rightarrow F_0\rightarrow 0\rightarrow \mathbb{Z}$, con el mapa de grado 3 a grado 2. $H_3$ de este espacio es, por supuesto, el núcleo de el mapa de $F_1\rightarrow F_0$, mientras que $H_2$ es isomorfo a $M$.

Con una cuña de 1-esferas y adjunto 2-las células que todo funciona de la misma manera (la Hurewicz teorema dice que $\pi_1$ surjects en $H_1$), excepto que el 2-dimensional complejo probablemente tendrá fundamentales de grupo mucho más grande que el grupo abelian $M$.