Cómo probar $\frac{1}{a_{1}}+\frac{1}{a_{2}}+\frac{1}{a_{3}}+\cdots+\frac{1}{a_{n}}<2$

Question

Dejemos que $$A=\{a_{1},a_{2},\ldots,a_{n}\}\subset N$$ Supongamos que para dos subconjuntos distintos $B, C\subseteq A$ tenemos $$\sum_{x\in B}x\neq \sum_{x\in C}x$$

Entonces demuestre que $$\dfrac{1}{a_{1}}+\dfrac{1}{a_{2}}+\dfrac{1}{a_{3}}+\cdots+\dfrac{1}{a_{n}}<2$$

Answer 1

Se trata de una vieja conjetura de Erdos, que se demostró posteriormente (Ryavek, según mis notas), aunque ahora mismo no puedo encontrar una referencia práctica en Internet. La prueba va por las siguientes líneas, IIRC:

Con $0 < x< 1$ tenemos por la condición de suma distinta: $$ \prod_{k=1}^n (1+x^{a_k}) < \sum_{k=0}^{\infty} x^k = \frac1{1-x} $$

$$\implies \sum_{k=1}^n \log(1+x^{a_k}) < - \log (1-x)$$

Como ambos lados son positivos, podemos dividir por $x$ e integrar para obtener

$$\implies \sum_{k=1}^n \int_0^1 \frac{ \log(1+x^{a_k})}x dx < - \int_0^1 \frac{\log (1-x)}x dx $$

$$\implies \sum_{k=1}^n \frac1{a_k} \cdot \int_0^1 \frac{ \log(1+t)}t dt < \frac{\pi^2}6 $$ $$\implies \sum_{k=1}^n \frac1{a_k} \cdot \frac{\pi^2}{12} < \frac{\pi^2}6 \implies \sum_{k=1}^n \frac1{a_k} < 2 $$