¿Por qué las representaciones adjuntas de tres grupos excepcionales tienen los mismos ocho primeros momentos?

Question

Para una representación de un grupo de Lie compacto, la $n$ momento de la traza de esta representación con respecto a la medida de Haar es la dimensión del subespacio invariante del $n$ potencia del tensor. La secuencia de momentos determina la distribución de la traza.

Para las representaciones adjuntas de $G_2,F_4$ y $E_7$ El $0$ a través de $7$ os momentos son todos 1,0,1,1,5,16,80,436 .

¿Hay alguna razón conceptual para ello, o es sólo una coincidencia numérica?

Nick Katz hizo esta pregunta en su clase de posgrado.

Una posible forma de hacer esto más conceptual es observar que hay más estructura en los espacios vectoriales de invariantes que sólo sus dimensiones. Hay una acción de $S_n$ y los mapas frente a la $n$ tensor de invariantes $m$ a las invariantes $n+m$ invariantes. ¿Es esta estructura la misma para estos tres grupos? ¿Existe una única estructura con una definición conceptual que contenga las tres?

Algunos secuencias potencialmente relacionadas donde la primera $6$ coinciden con éste, son las secuencias de momentos de las representaciones adjuntas de $SP_6$ y $E_8$ y la secuencia con función generadora exponencial $e^{-\int_{0}^x \log(1-y)dy}$

¿Se produce algún tipo de fenómeno de estabilización en el que los grupos excepcionales de alta dimensión, si existieran, también estarían de acuerdo con esta secuencia de momentos? Si es así, no parece concordar con los primeros momentos estables de la representación adjunta de ninguna secuencia de grupos clásicos. Para $A_n$ la secuencia de momentos es $1,0,1,2,9, 44, 265, 1854$ (contando las desviaciones) y $C_n$ y posiblemente los demás tengan secuencia de momentos $1,0,1,1,6,22,130, 822$ (contar grafos en los que cada vértice tiene dos aristas, con múltiples aristas pero sin bucles).

Answer 1

Sí, busque "la serie excepcional de Deligne". No hay teoremas, pero sí varias conjeturas hermosas.

La idea básica es que debe existir una categoría pivotal simétrica generada por un vértice trivalente, con sólo unas pocas relaciones locales, en función de un parámetro. En valores especiales del parámetro, la categoría se degenera, y el cociente por el ideal despreciable recupera la categoría de representación de una de las álgebras de Lie excepcionales. (Más o menos; en algunos casos se obtiene una equivariantización o subcategoría).

Trabajando sobre funciones racionales en el parámetro en su lugar, se espera que la categoría sea semisimple, y sus momentos deben estar de acuerdo con la secuencia que usted describe. El álgebra excepcional $F_4$ es el punto `menos degenerado', en el sentido de que sus momentos son los que menos se quedan cortos.

He aquí algunas referencias bibliográficas.

Pierre Deligne , El conjunto excepcional de grupos de Lie , C. R. Acad. Paris Sér. I Math. 322 (1996), no. 4, 321--326.

Pierre Deligne y Ronald de Man , El conjunto excepcional de los grupos de Lie. II , C. R. Acad. Paris Sér. I Math. 323 (1996), nº 6, 577--582.

Arjeh M. Cohen y Ronald de Man , Pruebas computacionales de la conjetura de Deligne sobre los grupos de Lie excepcionales , C. R. Acad. Paris Sér. I Math. 322 (1996), no. 5, 427--432.

Pierre Deligne y Benedict H. Gross , Sobre la serie excepcional y sus descendientes , C. R. Math. Acad. Paris 335 (2002), nº 11, 877--881.

J. M. Landsberg y L. Manivel , Series de grupos de Lie , Matemáticas de Michigan. J. 52 (2004), nº 2, 453--479.

J. M. Landsberg y L. Manivel , Trialidad, álgebras de Lie excepcionales y fórmulas de dimensión de Deligne , Adv. Math. 171 (2002), nº 1, 59--85.