Gráficos de Cayley de grupos generados finitamente

Question

Deje que$\approx$ sea la relación binaria en la clase de grupos generados finitamente, de modo que$G \approx H$ iff$G$ y$H$ tengan gráficos de Cayley isomórficos (no etiquetados no dirigidos) con respecto a los finitos elegidos adecuadamente grupos electrógenos ¿Es$\approx$ una relación de equivalencia?

Answer 1

La respuesta es no, como se esperaba. La siguiente prueba es "trabajo conjunto" con L. Scheele. Considere la posibilidad de $G=\mathbb{Z}$, $K=D_\infty$ y $H:=\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$. A continuación, $G \approx K$ e $K\approx H$, pero $G \not\approx H.$

De hecho, el grafo de Cayley asociados a $\{-1,1\}$ G y el grafo de Cayley asociados a $\{s,t\}$ donde $D_\infty=\langle s,t: s^2=t^2=1 \rangle$ son claramente isométrica.

Del mismo modo, el grafo de Cayley asociados a $\{s,st,ts\}$ para $K$ y el gráfico asociado a $\{(0,1),(-1,0),(1,0)\}$ para $H$ son isométricos.

Sin embargo, vamos a $S$ ser algunos simétrica grupo electrógeno $G$. A continuación,$S_k$, el conjunto de vértices que han distancia, precisamente, $k\geq 1$ a partir de la identidad, incluso ha cardinalidad porque $S_k$ es invariante bajo la asignación de $x \mapsto -x$ y no contiene 0.

Ahora vamos a $T$ ser algunos simétrica grupo electrógeno $H$. Deje $k_0$ ser la distancia de $(0,1)$ a partir de la identidad en el gráfico asociado. A continuación,$T_{k_0}$, el conjunto de vértices que han distancia, precisamente, $k_0$ a partir de la identidad, tiene cardinalidad impar. De hecho, es invariante bajo la asignación de $(x,y) \mapsto (-x,-y)$ desde $T$ es asumido a ser simétrica. Pero $(0,1)$ es un punto fijo.