Falso versus exótico

Question

Sin recurrir a la Disco Teorema (o sus descendientes), es cierto que todos los ejemplos conocidos de exóticos diferenciable estructuras de 4-variedades sería falso en lugar de exóticas?

Terminología (tal vez no estándar):

(1) Por "Disco Teorema" me refiero a la declaración, contenida en [1], que kinky maneja no sólo homotópica a nivel de 2 asas (como lo demuestran Casson [2]), pero homeomórficos estándar de 2 mangos,

(2) La "progenie" es todas las extensiones de la Disco el Teorema de no-conecta simplemente a la configuración (incluyendo busca a tientas, con un tope busca a tientas, etc),

(3) Un suave 4-colector es "exótico" si es homeomorphically equivalentes, pero sin problemas no equivalentes a un estándar de 4-colector,

(4) Un suave colector es "falso" si es homotopically equivalentes, pero sin problemas no equivalentes a un estándar de 4-colector.

La motivación para esta pregunta es la misma que la de la anterior Pregunta, a saber:

1. La clasificación [2] topológico de 4-variedades, que sigue desde el Disco Teorema, es ahora de 30 años de edad y más fácil que el de la versión de la prueba no ha surgido. En contraste, Donaldson es invariantes han sido seguidos por más fácilmente calculada invariantes. Esta asimetría es un estado insatisfactorio de los asuntos de largo alcance topológico resultado, en particular, como es regularmente usada en la prueba por contradicción de los argumentos en contra de los resultados en liso 4-colector de la teoría.

2. Como el Bing topologists familiarizado con estos argumentos se jubila, la esperanza de reproducir los detalles de la prueba están desapareciendo, y con ella, la idea de que tal prueba espectacular ofrece.

3. Es posible refinar la prueba bajo el supuesto de más regularidad para obtener más control sobre el resultado infinito torres - y, quizás, conseguir Hoelder mapas en lugar de homeomorphisms, por ejemplo.

Referencias:

[1] Freedman, M. H. (1982), "La topología de cuatro dimensiones de los colectores", Revista de la Geometría Diferencial 17 (3), 357-453.

[2] Casson, A. J. (1986), "Tres conferencias sobre nuevas infinita construcciones en 4 dimensiones de los colectores", a la recherche de la topologie perdue, Progr. Math., 62, Boston, MA: Birkhauser Boston, 201-244.

Answer 1

Parece ser que la respuesta "Sí" - sin recurrir a la Disco Teorema, todos los ejemplos conocidos de exóticos diferenciable estructuras de 4-variedades sería falso en lugar de exóticas.

Casson el resultado es que su infinita rizado de la manija de la construcción produce objetos que son homotópica a nivel de 2 asas y así, a priori, sólo conduce a la falsa 4-variedades. Desde falsedad no es un fenómeno inusual (homotopies son criaturas débiles), uno podría interpretar el resultado como algo de un fracaso - tal vez esto explica por qué el resultado languideció inédito durante casi una década.

Por otro lado, la existencia de especies exóticas de 4-variedades, con todos los de su extrañeza, de la siguiente manera exclusivamente a partir de la afirmación central de que el disco teorema: que Casson asas son homeomórficos estándar de 2 asas. Esto introduce extraordinaria dicotomías de 4 dimensiones, como se contradice muchos diferentes posterior suave resultados. Por ejemplo, conduce a:

1. Pequeños exóticos estructuras: disco teorema de frente liso h-cobordism teorema de
2. Gran exóticas estructuras: disco teorema de frente liso conectado suma de división de la
3. Topológicamente rebanada de nudos: disco teorema de frente liso nudo de la teoría

Todo esto es profundamente inquietante.

Como un intento de presentar una alternativa de geometrización de estos paradigmas, sólo he publicado un preprint a la arxiv (trabajo conjunto con Wilhelm klingenberg) la utilización de un neutral Kaehler de la estructura de 4-variedades. Mientras que el principal resultado es la extensión de una geometría diferencial resultado de 1846, esto es esencialmente un subproducto de la consideración de que el disco teorema. El topológica de la motivación es más plenamente explicado en el video:

Una versión global de un clásico resultado de Joachimsthal y la rebanada problema de nudos

En el futuro cercano voy a publicar más detalles de una alternativa de construcción de Casson maneja con más control geométrico de la frontera con el fin de explorar estas preguntas directamente.