Deje $p$ ser un gran primer y deje $f(x) = P(x)/Q(x)$ ser un no-constante de la función racional sobre ${\Bbb F}_p$ delimitada de grado. A partir de las conjeturas de Weil para las curvas, tenemos un límite de la forma
$$ |\sum_{x \in {\Bbb F}_p}^* e_p( f(x) )| \ll p^{1/2}$$
donde el asterisco denota que la suma excluye a los $x$ para que $Q(x)$ se desvanece, y $e_p(x) := e^{2\pi i x/p}$ es el estándar de carácter aditivo. (Como lo que puedo decir, esta obligado apareció por primera vez explícitamente en este documento de Perelmuter; una primaria de la prueba basado en Stepanov del método, a pesar de que todavía el uso de la racionalidad de la función zeta, también aparece en este papel de Cochrane y Pinner.)
Mi pregunta es si hay un "barato", argumento, evitando las conjeturas de Weil (es decir, no utilizando la hipótesis de Riemann o la racionalidad de la función zeta), que da una disminución en el ahorro de energía obligado
$$ |\sum_{x \in {\Bbb F}_p}^* e_p( f(x) )| \ll p^{1-c}$$
sobre el trivial obligado para algunos $c>0$ (que ahora se permite a depender del grado de los polinomios $P,Q$)? Yo sé de dos casos especiales en los que esto es posible:
- Si $f$ es un polinomio, entonces uno puede utilizar el Weyl diferenciación método para obtener un atado de esta forma (con $c$ decae exponencialmente en el grado de $f$).
- En el caso de sumas de Kloosterman $f(x) = ax + \frac{b}{x}$, Kloosterman obtenido un ahorro de energía de $c=1/4$ por la informática (o, más precisamente, la parte superior del delimitador) el cuarto momento $$ \sum_{a,b \in {\Bbb F}_p} |\sum_{x \in {\Bbb F}_p}^* e_p( ax + \frac{b}{x} )|^4$$ y la explotación de la dilatación de la simetría $$ \sum_{x \in {\Bbb F}_p}^* e_p( ax + \frac{b}{x} ) = \sum_{x \in {\Bbb F}_p}^* e_p( cax + \frac{b/c}{x} )$$ para cualquier $c \in {\Bbb F}_p^\times$. (EDIT: como se ha señalado por Felipe, Mordell extendido este argumento al caso en el $f$ es una combinación lineal de monomials $x^n$. Para Mordell-tipo de sumas también hay trabajos recientes de Bourgain y co-autores con el suma-producto fenómeno para obtener las estimaciones de ahorro de energía de alto grado de los casos, pero estas técnicas se basan de nuevo en la estructura multiplicativa y no parecen estar disponibles en general).
Sin embargo, en el sentido positivo del género caso no parece que Weyl diferencia puede ser utilizado para reducir la complejidad de la exponencial suma, incluso si se combina con los cambios de variable (aunque no tengo una rigurosa prueba de esta afirmación), mientras que yo he sido incapaz de extraer un ahorro de energía de la Kloosterman el argumento de la ausencia de simetría, tales como la dilatación de simetría (aunque el argumento no dan una muy débil límite superior de $(1-c)p$ para algunos $c>0$ en general). Los únicos otros argumentos sé de ir a través de la racionalidad de la función zeta, y, en particular, sobre la vinculación de la anterior exponencial suma a la compañera sumas
$$ \sum_{x \in {\Bbb F}_{p^n}}^* e_p( \operatorname{Tr}(f(x)) )$$
para un gran $n$, el punto clave es que ahora uno puede perder los poderes de $p$ en las estimaciones sobre estas sumas como pueden ser recuperados utilizando el tensor de energía truco. Sin embargo, requiere un poco de computación para alcanzar esta racionalidad (por ejemplo, la de Riemann-Roch teorema, o un poco de desorden de álgebra lineal, como se ha hecho en Cochrane y Pinner), y me interesaría saber si había una prueba directa de ahorro de energía (o incluso una mejora cualitativa $o(p)$ sobre el trivial obligado de $p$) que no requieren de la introducción de la compañera de sumas.
(Mi motivación aquí es explorar el fondo mínimo necesario para establecer Zhang reciente teorema sobre la delimitado espacios entre los números primos; en la actualidad, requiere el argumento de las conjeturas de Weil para las curvas, pero un hoteles de ahorro de energía para el general de la función racional fases eliminaría la dependencia de estas conjeturas.)
