Consecuencias de la conjetura de Shafarevich

Question

El Shafarevich conjetura afirma que el grupo de Galois $\mathrm{Gal}({\overline{\mathbf{Q}}/\mathbf{Q}^{ab}})$ es un servicio gratuito de profinite grupo, donde $\mathbf{Q}^{ab}$ es la máxima abelian extensión de $\mathbf{Q}$.

Hasta donde yo sé, hay algunos cohomological evidencias (Bloch-Kato conjetura/teorema) el apoyo a la Shafarevich conjetura, pero parece que aún estamos lejos de responder a la conjetura de una forma clara.

Cuáles serán las consecuencias en la aritmética y la aritmética geometría algebraica si el Shafarevich conjetura era cierta?

Sería el último paso en nuestro "entendimiento" de la absoluta Galois grupo?

Answer 1

El Shafarevich conjetura pertenece al programa más amplio de la Inversa de la teoría de Galois, y en ese contexto es sólo otro paso en esa particular acercamiento a la comprensión de $\mathrm{Gal}(\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q})$.

Así que la respuesta a la segunda pregunta es no, definitivamente. Por ejemplo, podríamos probar la Shafarevich conjetura y todavía no se conocen todas las finito de coeficientes de la absoluta Galois grupo de los racionales.

Incluso nuestra comprensión de $\mathrm{Gal}(\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q}^{ab})$ podría estar aún lejos de ser completa, ya que muchos de los resultados no son constructivas. Por ejemplo Iwasawa resuelto el solucionable parte de la conjetura en los años 50, pero dudo que sabemos cómo explícitamente generar más finito solucionable grupos de más de $\mathbb{Q}^{ab}$.

En una nota de lado, usted podría tener una mejor idea del impacto de la resolución de la conjetura por ver lo que hemos aprendido en el único caso que hemos logrado resolver, $\mathbb{Q}^{tr}(\sqrt{-1})$ donde $tr$ indica generada por todas totalmente real números algebraicos ($\mathrm{Gal}(\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q}^{tr}(\sqrt{-1}))$ es un servicio gratuito de profinite grupo de contables rango de resultados de Pop y otros).

La respuesta a la primera pregunta podría ser no tan bien, ver que hay otros dos MO preguntas en el mismo espíritu (1, 2). Trivialmente, la Shafarevich conjetura implica la inversa Galois problema por $\mathbb{Q}^{ab}$.

Answer 2

Nótese que Florian Pop probó la conjetura de Shafarevich para campos de función en "Cubiertas de Étale Galois de curvas suaves afines. El caso geométrico de una conjetura de Shafarevich. Sobre la conjetura de Abhyankar". Inventar. Matemáticas. 120, N ° 3, 555-578 (1995), e Iwasawa demostraron que el cociente prosolvable máximo de$G_{\mathbf{Q}^\mathrm{ab}}$ es un grupo prosolvable libre, ver [Neukirch-Schmidt-Wingberg, Cohomology of number fields], IX.5 .

Answer 3

Un aspecto adicional vale la pena mencionar: Cuando se trata de comprender la estructura de un absoluto grupo de Galois ${\rm Gal}(\overline{K}/K)$ de un campo de $K$, a menudo es útil tener en cuenta su acción sobre las raíces de la unidad, es decir, para el estudio de los par $({\rm Gal}(\overline{K}/K),\chi_K)$, donde $\chi_K\colon {\rm Gal}(\overline{K}/K)\to\widehat{\mathbb{Z}}^\times$ es el cyclotomic carácter. Ahora por el de Kronecker-Weber teorema, $\mathbb{Q}^{\rm ab}$ se obtiene a partir de $\mathbb{Q}$ colindando todas las raíces de la unidad. Por lo tanto, el grupo ${\rm Gal}(\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q}^{\rm ab})$, que el Shafarevich conjetura intenta describir, es sólo el núcleo de cyclotomic charcter $\chi_{\mathbb{Q}}$, y esto hace que sea especialmente importante.