Es bien sabido que para$n>0$$$d(n)=\det\left(\binom{2i+2j+1}{i+j}\right)_{i,j=0}^{n-1}=1.$ $ Los experimentos informáticos sugieren que, en general,$$d(n,k)=\det\left(\binom{2i+2j+2k+1}{i+j}\right)_{i,j=0}^{(2k+1)n-1}=(2n+1)^{k}.$ $ ¿Alguien tiene una idea de cómo probar esto en general$k$?
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David Miani
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Deje $C$ ser el círculo unidad orientada positivamente, $z\in C$ e $\iota=\sqrt{-1}$. Sabemos que $$\binom{a}b=\frac1{2\pi\iota}\int_C\frac{(1+z)^a}{z^b}\frac{dz}z.$$ Después de una aplicación de esta formulación, el problema es equivalente a la de varias (Selberg) el tipo de contorno integral $$\frac1{(2\pi\iota)^N}\int_C\cdots\int_C\prod_{j=1}^N\frac{(1+z_j)^{2k+2j-1}}{z_j^j}\prod_{j<m}^{1,N}\left(\frac1{z_m}+z_m-\frac1{z_j}-z_j\right)dz_1\cdots dz_N=(2n+1)^k;$$ donde $N=(2k+1)n$. Para obtener información adicional sobre dicha transformación, que puede verse en este documento a partir de la página 3.
* Aquí hay un par de variantes del problema. Sólo las dimensiones de las matrices son alterados.
$$\det\left(\binom{2i+2j+2k+1}{i+j}\right)_{i,j=0}^{(2k+1)n}=(2n+1)^{k}.$$ $$\det\left(\binom{2i+2j+2k+1}{i+j}\right)_{i,j=0}^{(2k+1)n-k-1}=(-1)^{\binom{k+1}2}(4n)^{k}.$$
Johann Cigler y yo hemos publicado una solución en arXiv:
"Una clase interesante de determinantes de Hankel" , arXiv: 1807.08330.
Dejar $d_r(N)=\det\left({2i+2j+r\choose i+j}\right)_{i,j=0}^{N-1}$. Mostramos que para$k,n\ge 1$, \begin{align} &d_{2k+1}((2k+1)n)=d_{2k+1}((2k+1)n+1)=(2n+1)^k,\\ &d_{2k+1}((2k+1)n+k+1)=(-1)^{k+1\choose 2}4^k(n+1)^k,\\ &d_{2k}(2kn)=d_{2k}(2kn+1)=(-1)^{kn},\\ &d_{2k}(2kn+k)=-d_{2k}(2kn+k+1)=(-1)^{kn+{k\choose 2}}4^{k-1}(n+1)^{k-1}. \end {align}
