¿Qué era el álgebra conmutativa antes de la geometría algebraica (moderna)?

Question

Al leer "H. Matsumura - Commutative Ring theory" tuve la impresión de que las definiciones se hicieron para significar algo en la geometría algebraica posterior. Me pregunto qué era el álgebra conmutativa antes de la geometría algebraica moderna (qué ideas se desarrollaron, cuán sofisticadas eran, etc.). Además, si el éxito de la geometría algebraica había inspirado la expansión del álgebra conmutativa, y en qué medida. Cualquier referencia más antigua también sería interesante (no para estudiar, sólo para averiguar). Gracias

Answer 1

Aquí hay un extracto de la charla de Zariski en el Icm hace varias décadas:

"La tendencia aritmética en la geometría algebraica no es en sí misma una salida radical del pasado. Esta tendencia se remonta a Dedekind y Weber, quienes desarrollaron, en su memoria clásica, una teoría aritmética de campos de funciones algebraicas de una variable. La geometría algebraica abstracta es una continuación directa del trabajo de Dedekind y Weber, excepto que nuestro objeto principal es el estudio de los campos de funciones algebraicas de más de una variable. El trabajo de Dedekind y Weber se ha visto muy facilitado por el desarrollo previo de la teoría ideal clásica. Del mismo modo, la geometría algebraica moderna se ha hecho realidad en parte gracias al desarrollo previo de la teoría general de los ideales. Pero aquí termina la similitud. La teoría clásica de los ideales ataca el núcleo mismo de la teoría de las funciones algebraicas de una variable, y de hecho existe un sorprendente paralelismo entre esta teoría y la teoría de los números algebraicos. Por otra parte, la teoría general de los ideales ataca la mayor parte de los fundamentos de la geometría algebraica y no alcanza los problemas más profundos a los que nos enfrentamos en la etapa postfundacional. Además, no hay nada en el álgebra conmutativa moderna que pueda considerarse ni remotamente como un desarrollo paralelo a la teoría de los campos de funciones algebraicas de más de una variable. Después de todo, esta teoría es en sí misma un capítulo del álgebra, pero es un capítulo del que los algebristas modernos sabían muy poco. Todo nuestro conocimiento aquí proviene de la geometría. Por todo ello, es innegable que la aritmetización de la geometría algebraica representa un avance sustancial del propio álgebra. Al ayudar a la geometría, el álgebra moderna se ayuda sobre todo a sí misma. Sostenemos que la geometría algebraica abstracta es una de las mejores cosas que le han ocurrido al álgebra conmutativa en mucho tiempo. "