Espinas armónicas en colectores hiperbólicos cerrados

Question

¿Alguien sabe un ejemplo de un cerrado giro hiperbólico colector de dimensión 3 o superior tal que el núcleo del operador de Dirac no es trivial?

Estoy principalmente interesado en las 3 dimensiones de la caja, pero estaría feliz de escuchar acerca de las dimensiones más elevadas. Tenga en cuenta que Hitchin mostró que para una elección particular de giro de la estructura de la superficie, el operador de Dirac necesariamente tiene núcleo. Hay fuertes resultados de Bär (El Operador de Dirac en Hiperbólico Colectores de Volumen Finito, J. Diff. Geom. 54 (2000), 439--488) para finito de volumen hiperbólico colectores pero no he encontrado nada por cerrado hiperbólica de los colectores.

Answer 1

Estoy feliz de ser capaz de responder a mi propia pregunta! John Ratcliffe, Steven Tschantz y me mostró que el operador de Dirac en la Davis colector (cerrado hiperbólico 4-colector construido por Mike Davis) ha distinto de cero kernel. Esto es en el preprint Armónico spinors en la Davis hiperbólico 4-colector que hemos publicado en el arxiv hoy en día.

El método es encontrar una simetría del colector que respeta un particular giro de la estructura, y el uso de la G-spin teorema para demostrar que el G-spinor índice es distinto de cero. Esto sólo puede suceder si el núcleo del operador de Dirac no es cero. El método también funciona en la dimensión 2 (donde el resultado es, por supuesto, no es nuevo) y, en principio, en cualquier dimensión. No (a mi conocimiento) trabajo en dimensiones impares, aunque Misha sugerencias en los comentarios de arriba parecen prometedores allí.

Answer 2

Según Rula Tabbash en este artículo,todos los colectores cerrados curvados negativamente admiten espinas armónicas (y ninguna de ellas positivamente curvadas). No estoy 100% seguro, ya que este es un papel de física, por lo que no está claro si está asumiendo algo no declarado...