Origen y primeros usos de $\ell_p$ ¿normas?

Question

¿Cuándo fueron exactamente $\ell_p$ ¿normas definidas y utilizadas por primera vez?

(Esto es lo que sé, o creo que sé: Lebesgue y/o Riesz tuvieron algo que ver con ellas, pero en cierto sentido se remontan a Minkowski, ya que la desigualdad de Minkowski es (en esencia) la afirmación de que un $\ell_p$ es una norma).

Esta es la que realmente es mi principal pregunta: ¿cómo se $\ell_p$ normas ( $p\geq 1$ arbitrario) utilizado por primera vez? ¿Cuál fue su motivación? Está claro que $\ell_1$ , $\ell_2$ y $\ell_\infty$ Las normas son muy naturales y su uso es muy anterior a la definición formal de "forma". La página web $\ell_4$ La norma también aparece por sí sola a veces. Por el contrario, $\ell_p$ normas para otros $p$ parecen surgir más a menudo en el curso de una prueba, como una herramienta, cuando uno necesita alguna noción de "tamaño" que cae entre un $\ell_1$ y un $\ell_2$ norma (por ejemplo). ¿Los primeros usos de $\ell_p$ ¿las normas encajan en este marco? ¿Se le ocurren algunos casos interesantes (y preferiblemente tempranos) que no obedezcan a este patrón?

Answer 1

Toeplitz en su revisar de Riesz [ 1913 ] lamenta la falta de motivación explícita en la generalización de $\ell_2$ a $\ell_p$ :

Las consideraciones del tercer capítulo no requieren la convergencia de la suma de cuadrados de las incógnitas, sino la convergencia más general de $\sum|x_a|^p$ , donde $1<p<\infty$ (incluso los casos límite $p = 1$ , $p = \infty$ se discuten), una generalización a la que el autor parece dar mucho valor, pero cuyo significado analítico más profundo no motiva .

¿Pero la motivación no es simplemente que esto aumenta las posibilidades de un sistema $\sum a_{ik}x_k=c_i$ para tener una solución? A saber (si $p>2$ decir) se nos permite buscar soluciones en el espacio más amplio $\ell_p$ - pero el precio a pagar es que debemos saber que cada "fila" $a_{i\,\cdot}$ está en $\ell_q$ donde $\frac1p+\frac1q=1$ . Ese parece ser el sentido del teorema que Riesz [1913, p. 47] atribuye a Landau [ 1907 ]:

Si $\sum a_kx_k$ converge para todo $x\in\ell_p$ entonces $a\in\ell_q$ ( y $|\sum a_kx_k|\leqslant\|a\|_q\|x\|_p$ ). $(*)$

Esto, en retrospectiva, es esencialmente la prueba de que $\ell_p$ tiene doble $\ell_q$ y yo diría que se califica como un uso de $\ell_p$ normas anteriores a Riesz. Pero en cuanto a quién fue el primero usado esto para resolver un problema concreto...? No lo sé.

Otro pre-Riesz $\ell_p$ resultado son las desigualdades de Hausdorff-Young para las series de Fourier $f(e^{i\theta})=\sum c_ne^{in\theta}$ demostrado por Young en [ 1912a ] (resp. [ 1912b ]) para $q\in 2\mathbf Z$ y posteriormente por Hausdorff en general:

Si $\frac1p+\frac1q=1$ y $1<p\leqslant 2$ entonces $\|c\|_q\leqslant\|f\|_p$ ( resp. $\|f\|_q\leqslant\|c\|_p$ ).

Más fuentes secundarias - además de los textos de Dieudonné y Pietsch citados por András:

• Riesz [1913, p. 45] atribuye la desigualdad de Minkowski a Minkowski [ 1907, p. 95 ], pero no existe tal cosa. Según este documento la referencia correcta es Minkowski [ 1896, p. 116 ].

• Encyklopädie der math. Wiss. Vol. II.3.2 (1927) informa sobre los informes de Riesz $\ell_p$ teoría con los precursores Hölder y Landau (p. 1445, sin mencionar a Minkowski), y sobre Hausdorff-Young (pp. 1211-1212).

• Una encuesta más reciente: Los teoremas de Hausdorff-Young del análisis de Fourier y su impacto (1994).

• Según este documento La desigualdad de Hölder $(*)$ se remonta a Grolous (1875) y Besso (1879).

Sin embargo, ninguna de estas referencias aborda realmente la motivación para generalizar de $\ell_2$ a $\ell_p$ . ¿Quizás fue un caso de "porque podemos..."?

Answer 2

Dieudonné y Pietsch ambos creen que Frederic Riesz fue quien introdujo los espacios $l^p$ en su monografía

" Sistemas de ecuaciones lineales con infinitas incógnitas ", 1913.

Parece que está disponible en Internet, lo cual es bueno porque, desgraciadamente, no sé leer muy bien el francés...

Parece que, efectivamente, desarrolla aquí la teoría de $l^p$ -espacios, mucho más tarde que los espacios $L^p$ que fueron consideradas por él en

" Estudios sobre sistemas de funciones integrables " en 1909.

En los dos primeros capítulos de su monografía, Riesz menciona las motivaciones de su trabajo: sistemas infinitos de ecuaciones, determinantes infinitos, teoremas de Landau y Pringsheim. Alguien que sepa leer mejor el francés podría ampliar mi lista...