Estoy pensando en leer un curso de integración motivacional. Ya he leído algunas introducciones al tema, pero no estoy seguro de que mencionen todas las partes significativas de la teoría. Así que mis preguntas son:
En cuanto a las dos primeras preguntas (trabajos, resultados y aplicaciones): Para motivar, recomendaría entender el contenido del artículo de Batyrev "Los pliegues de Calabi-Yau biracionales tienen números de Betti iguales" que demuestra la afirmación de su título. Utilizando técnicas de integración motivacional análogas a las $p$ -de Batyrev, Kontsevich demostró que $K$ -Las variedades equivalentes tienen los mismos números de Hodge, lo que fue la motivación original para la integración motivacional. En sentido estricto, se puede deducir este resultado sin integración motivacional, utilizando sólo $p$ -ádico como en Batyrev. Pero la prueba con la integración motivacional es mucho más fácil. Aquí hay algunas notas agradables sobre este enfoque, por Manuel Blickle.
Aparte de este tipo de cosas, las aplicaciones de la integración motivacional que conozco tienen el siguiente sabor: se toma una función generadora "numérica" para algunos invariantes de datos geométricos (por ejemplo, el $p$ -ádica de Igusa o función zeta topológica) y las sustituye por versiones motivacionales que especializan a la función zeta numérica al aplicar algún homomorfismo fuera del anillo de variedades de Grothendieck. (A veces esta última característica no se satisface del todo, y las versiones motivacionales son sólo análogas a las versiones numéricas). Esto permite formular (y a veces demostrar) versiones más fuertes de las características de las funciones zeta numéricas originales. Por ejemplo, véase este documento de Denef y Loeser . (Han escrito muchos artículos interesantes sobre estos temas). Este trabajo de Chambert-Loir y Loeser es un ejemplo genial de un tipo bastante diferente.
No soy un experto, así que puede que se me haya escapado algún sabor de las aplicaciones. (Hay muchos "invariantes motivacionales" interesantes de los que no he hablado, por ejemplo " fibras motivadoras Milnor "que están relacionadas con las funciones Zeta estudiadas por Denef y Loeser anteriormente; las Función zeta motivacional de Kapranov que es un análogo motivacional de las funciones zeta de Weil; y " clases características motivas pero, hasta donde yo sé, la función zeta de Kapranov y las "clases características motivas" no se han estudiado realmente mediante técnicas de integración motivacional).
Aquí hay otras referencias que me gustan: esto encuesta de Looijenga ofrece una versión ligeramente más sofisticada (por ejemplo, equivariante, etc.) de algunos de estos invariantes motivacionales. Esta es una excelente referencia en el anillo de Grothendieck de las variedades de Mustata, aunque la demostración del Teorema 3.1 no es correcta para las curvas sin puntos racionales. (La cuestión es que el mapa $\operatorname{Sym}^n(C)\to \operatorname{Pic}^n(C)$ es no un haz de espacios proyectivos en este caso, sino una variedad Severi-Brauer sobre $\operatorname{Pic}^n(C)$ ; hasta donde yo sé, no aparece en la literatura una demostración correcta del Teorema 3.1). También hay un montón de artículos generalmente interesantes sobre el anillo de variedades de Grothendieck, por ejemplo, el de Poonen "El anillo de variedades de Grothendieck no es un dominio" , este documento de Liu y Sebag, y este gran contraejemplo de Larsen y Lunts.
En cuanto a tu última pregunta, mi consejo es que evites el lenguaje teórico de los modelos por ahora (pero tómate este consejo con un grano de sal: mi formación en teoría de modelos es muy débil y la tuya puede ser muy fuerte). Desgraciadamente, muchos artículos interesantes (algunos de los de Denef y Loeser y todos los de Hrushovski) están escritos en este lenguaje. Mi comprensión de la ventaja del lenguaje de la teoría de modelos es la siguiente: las integrales motivacionales descritas en las referencias que he dado se valoran en ciertos completamientos del anillo de variedades de Grothendieck o de sus localizaciones; el lenguaje teórico-modelo nos permite obtener valores en los anillos no completados. (También he oído que el modelo-teórico simplifica algunos trabajos recientes que conectan la geometría no arquimediana y la integración motivacional). Dicho esto, no creo que ninguna de las aplicaciones que he mencionado se base en estas ventajas. Además, creo que se pueden encontrar exposiciones de todos los resultados anteriores que evitan el lenguaje teórico-modelo; por ejemplo, la "suma de Poisson motivacional" de Hrushovski se describe en el artículo de Chambert-Loir y Loeser que enlazo más arriba.
¡Buena suerte con su curso de lectura!
Otro muy importante que las aplicaciones tienen que ver con la "transferencia de teoremas' de declaraciones entre los campos de la región de positiva y cero característica, en particular, los distintos prueba de que el "lema fundamental", como lo demuestran las Ong en característica positiva, es válido en característica cero: la primera prueba es por Waldspurger, pero se puede probar usando el (exponencial) motivic la integración de la teoría de Cluckers y Loeser (véase un estudio de Cluckers, Hales y Loeser, por ejemplo, en Cluckers la página de inicio; la base de documentos de Cluckers y Loeser también están ahí).
Aún más reciente de las aplicaciones de estas ideas (en particular debido a Cluckers, Gordon y Halupczok) implican la transferencia de integrabilidad de las declaraciones y tienen aplicaciones al análisis armónico, a través de los campos locales. (Curiosamente, en algunos casos, la transferencia va en la otra dirección aquí: a partir de la conocida resultados en característica cero a los resultados en característica positiva).
Estos resultados el uso de una buena cantidad de modelos de la teoría (en particular, las cosas conocido como el Denef-Pas lenguaje, y la aritmética de Presburger).
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