¿Se puede escribir 720! como la diferencia de dos potencias enteras positivas de 3?

Question

Hace la ecuación: $$3^x-3^y=720!$$ tiene alguna solución entera positiva?

Answer 1

Como escribe alex.jordan, $3^x-3^y$ factores como $3^y(3^{x-y}-1)$ Así que $y$ debe ser el número de factores de $3$ en $720!$ .

En realidad no necesito contar el número de $3$ s en $720!$ Así que vamos a definir la notación $720!_3$ para " $720!$ con todos los poderes de $3$ dividido". Esto debe producir el otro factor $3^{x-y}-1$ Por lo tanto, tenemos que investigar si $720!_3$ es uno menos que una potencia de $3$ . Para ello, lo calcularemos en módulo $3$ .

En general tenemos que $$ (3k)!_3 \equiv (1\cdot 2)^k \cdot k!_3 \equiv (-1)^k k!_3 \pmod 3 $$ Y por lo tanto

$$ \begin{align} 720!_3 \equiv 240!_3 &\equiv 80!_3 \equiv 80\cdot 79 \cdot 78!_3 \equiv - 78!_3 \\ &\equiv -26!_3 \equiv -26\cdot 25 \cdot 24!_3 \equiv 24!_3 \\ &\equiv 8!_3 \equiv 8\cdot 7\cdot 6!_3 \equiv -6!_3 \\ &\equiv -2!_3 \equiv -2 \equiv 1 &\pmod 3 \end{align}$$ que no es uno menos que un múltiplo de 3, por lo que ciertamente no es uno menos que un poder de $3$ .

Así que la respuesta es no.

Answer 2

Si $$720!=3^x-3^y=3^y\left(3^{x-y}-1\right)$$ y como el poder de $3$ dividiendo $720!$ es $$\left\lfloor\frac{720}{3}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{720}{9}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{720}{27}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{720}{81}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{720}{243}\right\rfloor=240+80+26+8+2=356\text{,}$$ tendría que ser que $y=356$ .

Así que queda por ver si $3^x-3^{356}=720!$ tiene una solución entera en $x$ .

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Nota al margen: podemos obtener una buena aproximación a $\log_3(720!)$ utilizando la fórmula de Stirling con un término más de lo que se suele utilizar: $$\log_3(720!)\approx\frac{1}{\ln3}\left(720\ln(720)-720 +\frac{1}{2}\ln(2\pi\cdot720)\right)\approx3660.3\ldots$$ Como los términos de la fórmula de Stirling se alternan después de esto, podemos deducir que es correcta hasta la décima. Los valores de $\ln(3)$ , $\ln(720)$ y $\ln(2\pi)$ son fáciles de calcular a mano con una precisión decente si es necesario.

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$720!$ es mucho mayor que $3^{356}$ . Desde $\log_3(720!)\approx3660.3$ , en la base $3$ , $720!$ tiene $3661$ dígitos (¿trigitos?), donde como $3^{356}$ sólo tiene $357$ . Así que $\log_3(720!+3^{356})$ et $\log_3(720!)$ deben estar muy juntos. Dado que este último es $\approx3660.3$ sin embargo, no es posible que el primero sea un número entero.

Más formalmente, $$\log_3(720!)<\log_3(720!+3^{356})=x=\log_3(720!)+\log_3\mathopen{}\left(1+\frac{3^{356}}{720!}\right)\mathclose{}<\log_3(720!)+\frac{1}{\ln(3)}\frac{3^{356}}{720!}$$

$$3660.3\ldots<x<3660.3\ldots$$

y no hay ningún número entero $x$ entre los valores de los dos extremos.

Answer 3

Alternativa de factorización:

Supongamos que $$\begin{align} 720!&=3^x-3^y\\ &=3^y(3^{x-y}-1)\\ &=3^y(3-1)(3^{x-y-1}+3^{x-y-2}+\cdots+1)\text{.} \end{align} $$

Desde $720!$ es divisible por $4$ el factor de la derecha es par, lo que significa que tiene un número par de términos, y $$720!=3^y(3-1)(3+1)(3^{x-y-2}+3^{x-y-4}+\cdots+1)$$ El factor más a la derecha debe seguir siendo par, dado lo superpar. $720!$ es, así que $$720!=3^y(3-1)(3+1)(3^2+1)(3^{x-y-4}+3^{x-y-8}+\cdots+1)$$ Y otra vez: $$720!=3^y(3-1)(3+1)(3^2+1)(3^4+1)(3^{x-y-8}+3^{x-y-16}+\cdots+1)$$

Podemos seguir extrayendo factores de la forma $3^{2^k}+1$ . Excepto en el caso de $3+1$ ninguno de estos factores es divisible por $4$ . Así que podemos hacer esto muchos ( $13$ ) veces sin agotar la gran potencia de $2$ que divide $720!$ :

$$720!=3^y(3-1)(3+1)(3^2+1)(3^4+1)\cdots(3^{8192}+1)(3^{x-y-16384}+3^{x-y-32768}+\cdots+1)$$

Pero esto ya es ridículo. El lado izquierdo es claramente más pequeño que $729^{720}=3^{4320}$ . Mientras que el lado derecho es mayor que $3^{8192}$ .

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Básicamente lo mismo, pero usando base- $3$

Los exponentes son todos de base diez. También, $N_{10}$ es de base diez. Todos los demás números son de base tres. En lo que sigue, cada paso en el que se factoriza un factor adicional, la factorización se justifica porque la gran potencia de $2$ dividiendo $720!$ implica que el factor más a la derecha (con el refuerzo) tiene un número par de $1$ s.

$$\begin{align} (10)^{4320} &=(1000000)^{720}\\ &=729_{10}^{720}\\ &>720_{10}!\\ &=3_{10}^x-3_{10}^y\\ &=(10)^x-(10)^y\\ &=\overbrace{2\cdots2}^{x-y}\overbrace{0\cdots0}^y\\ &=2(10)^y\overbrace{11\cdots11}^{x-y}\\ &=2(10)^y(11)\overbrace{0101\cdots0101}^{x-y}\\ &=2(10)^y(11)(101)\overbrace{00010001\cdots00010001}^{x-y}\\ &=2(10)^y(11)(101)(10001)\overbrace{0000000100000001\cdots0000000100000001}^{x-y}\\ &=\cdots\\ &=2(10)^y(11)(101)(10001)\cdots(\overbrace{10\cdots01}^{8193})\overbrace{0\cdots1\cdots0\cdots1}^{x-y}\\ &>\overbrace{10\cdots01}^{8193}\\ &>\overbrace{10\cdots00}^{8193}\\ &=(10)^{8182} \end{align}$$

Answer 4

Vamos a escribir $n=x-y$ . Si $720!=3^x-3^y=3^y(3^n-1)$ entonces $3^n-1$ es divisible por los primos $17$ , $31$ , $43$ y $79$ (entre otros, por supuesto). Así es, $3$ es una raíz primitiva para esos primos. Esto significa que $n$ es divisible por $16$ , $30$ , $42$ y $78$ por lo tanto por el lcm de estos, o

$$16\cdot15\cdot7\cdot39=65{,}520$$

Pero esto es mucho más grande que $\log_3(720!)\approx3660$ . Así, $720!$ no es la diferencia de dos potencias de $3$ .