¿Es efectivo el Teorema de la Modularidad (actualmente)?

Question

El Teorema de la Modularidad dice que toda curva elíptica sobre $\mathbb{Q}$ se puede obtener de la curva modular clásica $X_0(N)$ por un mapa racional. Aquí $N$ es el conductor, fácilmente calculable a partir de un polinomio para la curva. ¿Son calculables los coeficientes del mapa?

A menos que esto haya cambiado últimamente, las pruebas se basan en algunos resultados no efectivos. Por ejemplo, el comentario de Brian Conrad en ¿Se puede obtener el teorema de Siegel "gratuitamente" a partir de la modularidad y el documento del ideal de Eisenstein de Mazur? señala que las pruebas del teorema de la modularidad (al menos en esa época) utilizan la conjetura de Shafarevich, que fue demostrada por Faltings como consecuencia de la otrora conjetura de Mordell, ahora teorema de Faltings.

Al menos hasta Levin http://arxiv.org/abs/1109.6070 la conjetura de Shafarevich no es (todavía) efectiva. Pero no sé cómo se utiliza esa conjetura para la Modularidad. Véase también el comentario de Damian Rössler en Demostraciones eficaces del teorema de Siegel mediante la geometría aritmética .

Para aclarar: la prueba efectiva no es lo mismo que la prueba constructiva. Como dicen las respuestas de Noam Elkies y Qiaochu Yuan, este teorema es efectivo porque se pueden calcular los coeficientes una vez que se sabe que la curva es modular, por lo que las búsquedas pertinentes devolverán resultados. Una prueba constructiva también requeriría eficacia en cada paso para mostrar que todas las búsquedas relevantes realmente devuelven resultados. Esa sería otra cuestión.

Answer 1

Sí. Una vez que sepas $E$ es modular, un mapa dominante $\varphi: X_0(N) \rightarrow E$ puede calcularse de forma eficaz. Eso es porque uno puede calcular efectivamente (un límite en) $\deg\varphi$ .

Por supuesto, hay que calcular un modelo para $X_0(N)$ para que la pregunta tenga sentido, pero sabemos cómo hacerlo y escribir $q$ -expansiones para las coordenadas.

Al integrar el $q$ -expansión de la forma modular asociada a $E$ y utilizando el modelo de Weierstrass de $E$ , puede encontrar $q$ -expansión de las funciones $x$ y $y$ en $E$ con una precisión arbitraria. Esto ya está implementado en gp , ver elltaniyama .

Una vez que haya $x$ y $y$ con suficiente precisión se pueden resolver ecuaciones lineales en coeficientes indeterminados para reconocer $x,y$ como funciones racionales en sus coordenadas en $X_0(N)$ .