Mayor volumen posible del casco convexo de una curva de longitud unitaria

Question

¿Cuál es el mayor volumen posible del casco convexo de una curva abierta/cerrada de longitud unitaria en $\mathbb{R}^3$ ?

Answer 1

Creo que este problema se ha mencionado algunas veces en la literatura, y se ha resuelto para ciertas restricciones en la curva. Por ejemplo, si la curva no tiene cuatro puntos coplanares, el volumen máximo se consigue con una vuelta de una hélice circular de altura $\frac{1}{\sqrt{3}}$ y el radio de la base $\frac{1}{\pi\sqrt{6}}$ Esto se debe a Egervary. Para más referencias, véase la sección A28 de "Unsolved problems in geometry" de H.T. Croft, K.J. Falconer, R.K. Guy. Melzak y Schoenberg han tratado el problema correspondiente para bucles cerrados (Schoenberg ha tratado dimensiones pares), y han dado respuestas bajo restricciones similares. En ningún caso se conoce una respuesta completa.

Answer 2

Esta es una imagen de la apertura óptima convexo curva. Tomado de Problemas abiertos del CCCG 2012 , basado en este documento, que cita a Nudel'man (1975):

Paolo Tilli. "Desigualdades isoperimétricas para cascos convexos y cuestiones relacionadas". Trans. Amer. Math. Soc. 362 (2010), 4497-4509.

Answer 3

En el caso de una curva cerrada mi primera conjetura salvaje (pero educada :-) sería: conectar lo siguiente $\ 8\ $ puntos (vértices de un cubo pero también pertenecientes a una esfera) en el orden cíclico dado (de un registro de desplazamiento máximo):

$$(-a\ -\!a\ -\!a)\quad(-a\ -\!a\ +\!a)\quad(-a\ +\!a\ +\!a)\quad(-a\ +\!a\ -\!a)$$ $$(+a\ +\!a\ -\!a)\quad(+a\ +\!a\ +a)\quad(+a\ -\!a\ +\!a)\quad(+a\ -\!a\ -\!a) $$

donde $\ a\ $ es tal que la longitud del gran arco que une los puntos consecutivos de la esfera que los contiene $\ 8\ $ puntos es $\ \frac18$ .

EDITAR Disparar desde la cadera no puede ser tan preciso. Por lo tanto, dos preguntas relacionadas pueden ayudar a algunos:

1. ¿Cuál es el volumen máximo de un casco convexo de una curva cerrada contenida en una esfera? (Entonces el radio respectivo sería de interés).

2. ¿Existe una curva de este tipo pero no esférica que encierre un volumen mayor (es decir, su vestíbulo convexo sería mayor que el de cualquier curva cerrada contenida en una esfera)?