La historia del juego Numenera menciona "un número irracional que puede ser un equivalente en cuatro dimensiones de$\pi$". ¿Qué podría significar esto?

Question

Hay un RPG (Juego de Rol) llamado Numenera, establecer en la Tierra un billón de años en el futuro, el cual es cubierto en la parte funcional y generalmente extraño y misterioso tecnológico ruinas de un mil millones de años de civilizaciones avanzadas. En una de sus fuentes, se enumeran los posibles fragmentaria de las transmisiones que un personaje jugador podría recibir de su "datasphere", uno de los cuales está en la lista como la siguiente:

Un número irracional que puede ser una de cuatro dimensiones equivalentes de $\pi$.

Cuando vi este, mi primer pensamiento fue: "estoy bastante seguro de que es, probablemente, sólo pi multiplicado por una constante", seguido de "Si no, estoy seguro de que los matemáticos han trabajado a cabo". Cuando lo hice de búsqueda de Google, no pude encontrar nada obvio.

Así que, ¿cuál es el equivalente a pi para una de cuatro dimensiones hypersphere?

Answer 1

Usted está cerca. El "volumen" de un $4$-dimensiones de la pelota está dada por $$V = \frac{\pi^2}{2}R^4$$ y su "superficie" se da por $$S = 2 \pi^2 R^3.$$ Si tomamos el $n$-dimensiones equivalentes de $\pi$ a ser la relación entre el volumen de la $n$-ball y $R^n$ (el volumen de la $n$-cubo con lado de longitud $R$), luego el 4-D equivalente de $\pi$ es $\frac{\pi^2}{2}$.

De manera más general, tendríamos (para enteros positivos $k$) $$\begin{align}\pi_{2k} &= \frac{\pi^k}{k!}, \\ \pi_{2k+1} &= \frac{2^{k+1}\pi^k}{(2k+1)!!} = \frac{2(k!)(4\pi)^k}{(2k+1)!}.\end{align}$$ donde $\pi_n$ es el $n$-dimensiones equivalentes de $\pi$. Debido a $\pi$ es conocido por ser trascendental, podemos concluir que todos estos son irracionales (y trascendental así).

Answer 2

Si te refieres a la esfera en el espacio euclidiano de 4 dimensiones, entonces la relación entre su área de superficie y su radio en cubos es $2\pi^2$

Answer 3

Otra posible generalización, que se extiende a la "circunferencia al diámetro" concepto más directamente, es considerar la relación de la superficie de volumen el volumen de un diametral de la sección transversal, el último de los cuales es una esfera. En tres dimensiones, el equivalente es la proporción de la superficie de la esfera en el área de un plano de la sección transversal tomada a través de el centro (que es un círculo), y para ver la relación para el caso bidimensional, tenga en cuenta que "la circunferencia" puede ser pensado como la "longitud de superficie" y "diámetro" como la longitud de un lineal de la sección transversal a través del centro.

Que es, en efecto, el "$\pi$" es la proporción de la superficie de volumen de un 4D bola de radio $R$ a regular el volumen de una bola 3D de radio $R$. Por lo tanto...

La superficie del volumen de las 4 dimensiones de la bola es

$$\mathrm{SV} = 2\pi^2 R^3$$

y el volumen de las 3 dimensiones de la pelota es

$$V = \frac{4}{3} \pi R^3$$

así que la relación es sólo

$$\pi_4 = \frac{\mathrm{SV}}{V} = \frac{2\pi^2 R^3}{\frac{4}{3}\pi R^3} = \frac{3}{2} \pi$$

Por lo tanto, "de cuatro dimensiones pi" es $\frac{3}{2} \pi$. Eres bienvenido. Y sí, es $\pi$ veces una constante (número racional, como @rghome menciona en los comentarios).

Answer 4

Defina $\pi$ como el número real único de modo que $$\int_{-\infty}^\infty e^{-\pi x^2}\,\mathrm dx=1. Esto sea lo mismo en las dimensiones $1,2,3,4,\dots$ .

De hecho, $\int_{-\infty}^\infty\int_{-\infty}^\infty\int_{-\infty}^\infty\int_{-\infty}^\infty e^{-\pi (x^2+y^2+z^2+w^2)}\,\mathrm dx\,\mathrm dy\,\mathrm dz\,\mathrm dw=1.$