¿Los productos semidirectos son categóricos (co) límites?

Question

Productos, son muy elemental de las formas categoriales de los límites. Mi pregunta es si, en la categoría de grupos, semi-directa de los productos son categóricos límites.

Como se señaló en: http://unapologetic.wordpress.com/2007/03/08/split-exact-sequences-and-semidirect-products/

Bourbaki (Topología General, La Prop. 27) da una característica universal:

Vamos $f \colon N \to G$, $g \colon H \to G$ dos homomorphisms en un grupo de $G$, de tal manera que $f(\phi_h(n)) = g(h)f(n)g(h^{-1})$ para todos los $n \in N$, $h \in H$. Entonces no hay una única homomorphism $k \colon N \rtimes H \to G$ extender $f$ e $g$ en el sentido usual de la palabra.

Sin embargo, me sigue insatisfecho. La condición de $f(\phi_h(n)) = g(h)f(n)g(h^{-1})$ es una condición en los elementos de los grupos, en lugar de una condición que dice que algunos diagrama es conmutativo.

Así que la pregunta sigue siendo: son semi-directa de los productos en la categoría de grupos categóricos límites?

Answer 1

Hay otro ?) descripción de el icono del producto en términos categóricos.

Deje ${\rm Mor}(Gp)$ ser la categoría cuyos objetos son homomorphisms de grupos y morfismos son conmutativas diagramas. Deje $C$ ser la categoría de "grupos que actúan en grupos", cuyos objetos son pares de grupos de $(H,G)$ junto con un homomorphism $H \to {\rm Aut}(G)$. Morfismos en esta categoría son equivariant homomorphisms.

Ahora, hay una natural olvidadizo functor $T \colon {\rm Mor}(Gp) \to C$ que envía a $H \to G$ a la par $(H,G)$ con el homomorphism $H \to {\rm Aut}(G)$ dado por la conjugación. Ahora, casi por definición, el producto cruzado es la izquierda-adjoint de este olvidadizo functor. De hecho, la izquierda adjunto se ve fácilmente a la mapa $(H,G)$ con $H \to {\rm Aut}(G)$ a la inclusión $H \to G \rtimes H$.

Ser de izquierda adjunto, el "cruzado producto" mapas colimits a colimits.

Answer 2

Esta es una respuesta parcial, resumiendo algunas de mis comentarios.

La semi-directa producto no es un límite, sino que es un colimit. La razón es que el universal propiedad antes citada describe los mapas en la semi-directa del producto. En el caso particular de la $\phi$ es la trivial acción, la semi-producto directo se convierte en el producto directo de los $N \times H$, y la universal de los bienes es no sólo la costumbre universal de los bienes como un producto, sino más bien como una representación de objeto de los pares de morfismos en $N,H$ que conmutan pointwise. En general semi-directa del producto, esta conmutación es retorcida por una acción de $H$ a $N$.

Así que, básicamente, la idea es que tenemos el subproducto $N * H$ de los dos grupos (que normalmente se denomina el producto libre, lo cual es bastante lamentable), y nos impone la relación $h n h^{-1} = \phi_h(n)$. El universal propiedad de $N \rtimes H$ es equivalente a la isomorfismo

$$N \rtimes H = (N * H) / \{h n h^{-1}= \phi_h(n)\}_{h \in H, n \in N},$$

que exhibe $N \rtimes H$ especial colimit de algunos diagrama asociado a $N,H,\phi$. Sin embargo, esto todavía utiliza elementos en las relaciones. Creo que no puede deshacerse de estos elementos, a menos que utilizamos $2$-colimits. Ver a continuación. En realidad, este isomorfismo es utilizado muy a menudo en la teoría de grupo con el fin de recoqnize grupos dada por la presentación como un semi-directa del producto. Por ejemplo, el grupo diedro $D_n = \langle r,s : r^n = s^2 = 1, srs=r^{-1} \rangle$ es $\mathbb{Z}/n \rtimes \mathbb{Z}/2$.

Por otro lado, hay una categoría puramente teórico de la construcción que es debido a Grothendieck: Vamos a $I$ ser una categoría de pequeña y $F : I \to \mathsf{Cat}$ ser un diagrama de categorías pequeñas. El Grothendieck construcción $\int^I F$ es la categoría de pares $(i,x)$ donde $i$ es un objeto de $I$ e $x$ es un objeto de $F(i)$. Una de morfismos $(i,x) \to (j,y)$ es un par $(a,f)$, que consta de un morfismos $f : i \to j$ y un morfismos $a : F(f)(x) \to y$ en $F(j)$. La composición está definida por la regla

$(a_2,f_2) \circ (a_1,f_1) = (a_2 \circ F(f_2)(a_1),f_2 \circ f_1)$.

Ahora si $H$ es un monoid, considerado como una categoría con un solo objeto o $*$, e $F : H \to \mathsf{Cat}$ es un diagrama tal que $F(*)=N$ es sólo un monoid, a continuación, $F$ corresponde a un homomorphism de monoids $H \to \mathrm{End}(N)$ y el Grothendieck construcción $\int^H N$ tiene un solo objeto, por lo tanto corresponde a un monoid, es decir, lo que se suele llamar la semi-producto directo de $N \rtimes H$. Muestra de ello es la multiplicación de la regla anterior.

De vuelta al caso general de un diagrama de $F : I \to \mathsf{Cat}$, el Grothendieck construcción $\int^I F$ es el lax 2-colimit de $F$. No sé la referencia original ahora mismo, pero un muy amplio cuenta de que es el Apéndice a en "La pila de microlocal gavillas" por I. Waschkies. La elección de los morfismos $a : F(f)(x) \to y$ en la anterior definición es precisamente la razón para el "2". Si se trataba de la identidad, obtendríamos el habitual colimit.

Por lo tanto, la semi-producto directo de $N \rtimes H$ es el lax $2$-colimit del diagrama de $N : H \to \mathrm{Cat}$.