Grupo de isometría de un espacio homogéneo.

Question

De fondo

Deje $(M,g)$ ser finito-dimensional de riemann (o, más en general pseudoriemannian) colector. Supongamos que yo sé que a una cierta Mentira grupo $G$ actúa transitivamente y isométricamente en $M$ y después de un poco de más trabajo me exhibición $M$ como un espacio homogéneo $G/H$. Vamos $$\mathfrak{g} = \mathfrak{h} \oplus \mathfrak{m}~,$$ donde $\mathfrak{g}$ e $\mathfrak{h}$ son las álgebras de Lie de $G$ e $H$ respectivamente, y supongamos que esta división es reductivo. (Este es un vacío condición en la pseudoriemannian caso).

El grupo $G$ es un subgrupo del grupo de isometría de $M$, pero no es necesario que la totalidad del grupo de isometría. Por ejemplo, podríamos tener $M$ ser un compacto de Lie del grupo de $G$ natural con la bi-invariante métrica (las menos) la Matanza forma en la Mentira de álgebra. Claramente $G$ actúa transitivamente sobre $G$ a través de la izquierda de la multiplicación, pero el grupo de isometría es $G \times G$ (modulo el centro, si insistimos en que la isometría grupo actúa de forma eficaz).

Pregunta

Es allí una manera de determinar la isometría Mentira algebra de un homogénea pseudoriemannian colector $G/H$, preferiblemente por algebraica significa que a partir de los datos $(\mathfrak{g},\mathfrak{h})$ e las $\mathfrak{h}$invariante en el interior del producto en $\mathfrak{m}$?

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Esto no es ociosa curiosidad, por el camino. En un trabajo que estoy haciendo, me he encontrado con un explícito 7 dimensiones homogéneas de lorenz colector de lo que puedo describir como $G/H$, pero es importante que debo saber si la isometría Mentira álgebra es, de hecho, $\mathfrak{g}$ o algo más grande. Me temo, sin embargo, que la escritura de la explícita ejemplo me enfrento con la que podría considerarse "demasiado localizada" (y con razón), y tengo la esperanza de que esta cuestión más general es aceptable.

Actualización

Ahora he ejecutó el algoritmo de Robert respuesta para mi 7-dimensional espacio homogéneo, en mi trabajo y apareció un Asesinato campo de vectores! (No se el resultado que deseaba, pero explica algo que no pude comprender.)

Answer 1

Aquí es un algoritmo para calcular el álgebra de Lie del grupo de isometrías de un espacio homogéneo $G/H$ dotado de una $G$-invariante (pseudo-)métrica de Riemann $g$. Se expresan en términos de esencia cálculos algebraicos con la izquierda-invariante formas en $G$, pero podría reducirse completamente a los cálculos con la Mentira de álgebra (y la matriz $Q$ que define la métrica) si eso es lo que se quería hacer.

Deje $\frak{g}$ e $\frak{h}\subset\frak{g}$ denotar la Mentira de álgebras de $G$ e $H\subset G$ respectivamente. Set $s = \dim\frak{h}$ y deje $n>0$ ser la dimensión de la $\frak{m} = \frak{g}/\frak{h}$. Deje $\pi:G\to G/H$ ser la canónica coset de proyección. Si la izquierda natural de acción de $G$ a $G/H$ no es eficaz, reemplace $G$ por $G/N$ donde $N\subset G$ es el cerrado, normal subgrupo $N$ consta de los elementos que actúan trivialmente en $G/H$.

Deje $\omega = (\omega^i)$ (donde $1\le i\le n$) servir de base para la izquierda-invariante $1$formularios en $G$ tal que $\omega = 0$ define la foliación de $G$ por la izquierda cosets de $H$. Entonces existe una única no-degenerada, simétrica $n$a$n$ de la matriz de constantes de $Q$ tal que $\pi^*g = Q_{ij}\,\omega^i\circ\omega^j$.

Desde $Q$ es constante, existe una única $n$a$n$ matriz $\theta = (\theta^i_j)$, cuyas entradas están a la izquierda-invariante $1$formularios en $G$, de tal manera que $$\mathrm{d}\omega = {}-\theta\wedge\omega \qquad\text{y}\qquad Q\theta + {}^t(Q\theta) = \mathrm{d}Q = 0.$$ (Este es sólo el Lema Fundamental de (pseudo-)Geometría de Riemann en este contexto.) Tenga en cuenta que la aplicación de $\mathrm{d}$ a ambos lados de esta ecuación nos da $0 = \Theta\wedge\omega$, en donde, por supuesto, $\Theta = \mathrm{d}\theta + \theta\wedge\theta$, es la curvatura de la conexión de $\theta$ y por lo tanto puede ser escrita en la forma $\Theta = R(\omega\wedge\omega)$, donde los coeficientes en $R$ son constantes, ya que $R$ es de izquierda invariantes como una función en $G$.

Supongamos ahora que un campo vectorial $Y$ a $G$ ser $\pi$-en relación a un $g$-la Matanza de campo vectorial $Z$ a $G/H$, y deje $\omega(Y) = a$. A continuación, el $g$-la Matanza ecuación de $Z$ implica que $$\mathrm{d}a = {}-\theta\ a + b\ \omega$$ donde $b$ es $n$a$n$ matriz de funciones, que satisface $Qb + {}^t(Qb)=0$. Tomando el exterior derivada de esta ecuación nos da $$0 = {} -\Theta\ a + (\mathrm{d}b +\theta\ b - b\ \theta)\wedge\omega.$$ Ahora, contando dimensiones para mostrar que el correspondiente álgebra lineal problema siempre tiene una solución única, es fácil ver (y, en cualquier caso, calcular explícitamente) que existe una matriz de $\rho = (\rho^i_j)$ de %de $1$- formas tales que $\Theta\ a = \rho\wedge\omega$ que $Q\rho + {}^t(Q\rho) = 0$. De hecho, uno ha $\rho^i_j = r^i_{jkl}\,a^k\omega^l$, donde el $r^i_{jkl}$ son constantes determinadas por la curvatura de la forma $\Theta$. (La fórmula exacta no es importante para el siguiente argumento.) Por lo tanto, la ecuación anterior puede ser escrita como $$\mathrm{d}b = -\theta\ b + b\ \theta + \rho(a,\omega),$$ donde he escrito el plazo $\rho$ as $\rho(a,\omega)$ enfatizar que esto es una constante el coeficiente de emparejamiento bilineal de $a$ e $\omega$ toma los valores de la Mentira álgebra ${\frak{so}}(Q)$.

Las ecuaciones anteriores para $\mathrm{d}a$ e $\mathrm{d}b$ son entonces un total de (lineal) sistema diferencial cuya solución dar a la Mentira de álgebra de $g$-la Matanza de campos vectoriales en $G/H$.

Ahora, este sistema no es Frobenius menos $(G/H,g)$ es un (pseudo-)de Riemann la forma del espacio, por lo que, generalmente, se deben diferenciar estas ecuaciones. La derivada de la $\mathrm{d}a$-ecuación no dan nada nuevo, por lo que uno debe diferenciar el $\mathrm{d}b$-ecuación. Esto da lugar a las ecuaciones de la forma $$0 = \mathrm{d}(\mathrm{d}b) = B,$$ donde $B = (B^i_j)$ e $B^i_j = (u^i_{jklm}a^m + v^{ip}_{jklq}b^q_p)\,\omega^k\wedge\omega^l$ para algunos explícita constantes $u^i_{jklm}= -u^i_{jlkm}$ e $v^{ip}_{jklq} = - v^{ip}_{jlkq}$. De ello se desprende que el $a^i$ e $b^i_j$ están sujetos a la constante coeficiente lineal de las relaciones $$u^i_{jklm}a^m + v^{ip}_{jklq}b^q_p = 0$$ además de los lineales de las relaciones en $b$ ya conocidos: $Qb + {}^t(Qb) = 0$. La diferenciación de estas nuevas lineal de las relaciones y el uso de la $\mathrm{d}a$ e $\mathrm{d}b$ fórmulas para expresar los resultados en términos de izquierda-invariante formas con coeffcients que son constantes las combinaciones lineales de las $a$- e $b$-componentes, uno podría obtener más constante coeficiente lineal de las relaciones entre el $a$- e $b$-componentes. Repita este proceso con las nuevas relaciones (si cualquier) hasta que no lineales de las relaciones se encuentran.

En ese punto, el lineal de las relaciones entre el $a$- e $b$-de los componentes de una solución de espacio de dimensión $n{+}s{+}r$ para algunos $r\ge0$ (pero, necesariamente, $r\le n(n{-}1)/2 - s$). Entonces, se sigue que el espacio de $g$-la Matanza de campos vectoriales en $G/H$ tiene dimensión $n{+}s{+}r$. Por otra parte, uno puede calcular la Mentira de álgebra de la estructura de este espacio mediante el uso de la fórmula $$\omega\bigl([Y_1,Y_2]\bigr) = Y_1(a_2) - Y_2(a_1) - \theta\wedge\omega\bigl(Y_1,Y_2\bigr)$$ y las fórmulas para $\mathrm{d}a_1$ e $\mathrm{d}a_2$. Por lo tanto, la estructura de álgebra de la $g$-campos de muerte se sigue directamente por operaciones algebraicas a partir de la estructura de las álgebras de $\frak{g}$ e $\frak{h}$ e $Q$.

En cualquier instancia, este algoritmo puede ser implementado en un equipo sin dificultad.