Aquí es Ribet de la prueba (ampliando el Ulrich's comentario):
Deje $G_K:=Gal(\bar{K} / K)$ e $V_l:=T_l(E)\otimes \mathbb{Q}_l$.
La imagen de $\rho_{l,E}(G)$ es un subgrupo cerrado de la $l$-ádico Mentira grupo $\text{Aut}(V_l(E)) \cong \text{GL}_{2}(\mathbb{Q}_l)$ y por lo tanto es una Mentira subgrupo de $\text{Aut}(V_l(E))$. Su Mentira álgebra $\mathfrak{g}_l$ es una subalgebra de $\mathfrak{gl}_{2}(\mathbb{Q}_l)$. Queremos mostrar que $\mathfrak{g}_l=\mathfrak{gl}(V_l)\cong \mathfrak{gl}_2(\mathbb{Q}_l)$ y el resultado de la siguiente manera.
(Tenga en cuenta que la Mentira de álgebra de la imagen $\rho_{l,E}(G_K)$ es el espacio de la tangente de la identidad de los componentes de la Zariski cierre de $\rho_{l,E}(G_K)$ en $\text{GL}_{2}(\mathbb{Q}_l)$. Por lo $\mathfrak{g}_l$ `medidas de la representación hasta finito extensiones de la base de campo de $K$', ya que un número finito de índice de un subgrupo de una expresión algebraica grupo tiene la misma identidad componente).
Ahora $V_l$ es irreductible como un $\mathfrak{g}_l$-módulo (esto es un teorema de Shafarevich, y depende de Siegel teorema sobre la finitud de la integral de puntos en las curvas). En segundo lugar, $\mathfrak{g}_l$ no puede ser contenida en el subalgebra $\mathfrak{sl}(V_l)$ de % de $\mathfrak{gl}(V_l)$ desde $\det(\rho_{l,E})=\chi_l$ (donde $\chi_l$ es el cyclotomic personaje dando a la acción de Galois en $K^{cycl}$).
Esto deja dos posibilidades para $\mathfrak{g}_l$: o $\mathfrak{g}_l$ es $\mathfrak{gl}_2(\mathbb{Q}_l)$ y hemos terminado, o $\mathfrak{g}_l$ es un no-split Cartan subalgebra de $\mathfrak{gl}_2( \mathbb{Q}_l)$ (un abelian algebra semisimple viniendo de una ecuación cuadrática de extensión de campo de $\mathbb{Q}_l$).
Faltings demostrado dos hechos importantes acerca de represenations $\rho_{l,E}$:
$\rho_{l,E}$ es semisimple representación de $G_K$ sobre $\mathbb{Q}_l$
$\text{End}(E)\otimes \mathbb{Q}_l \cong \text{End}_{\mathfrak{g}_l}(V_l)$.
Faltings resultados luego de descartar la posibilidad de que $\mathfrak{g}_l$ es un no-split Cartan subalgebra de $\mathfrak{gl}_2( \mathbb{Q}_l)$ y hemos terminado.
