¿Cuál es el estado de la cuestión en lo que respecta a la identificación entre las repeticiones del grupo cuántico en la raíz de la unidad, y las repeticiones del álgebra de Lie afín de energía posit

Question

En su artículo [1], Finkelberg utilizó el enorme trabajo de Kazhdan-Lusztig [4,5,6,7,8] para demostrar que $Rep^{ss}(U_q\mathfrak g)$ (la semisimplificación de la categoría de repeticiones de dimensión finita de $U_q\mathfrak g$ ) es equivalente a la categoría $Rep_k(\widetilde{L\mathfrak g})$ de nivel $k$ módulos integrables de mayor peso sobre el álgebra de Lie afín $\widetilde{L\mathfrak g}$ .

Pero hace poco me enteré (por la sección 3 de [3]) de que hubo una fe de erratas [2] en la que se descubrió y corrigió un error, y que hay casos (concretamente $E_6$ , $E_7$ , $E_8$ nivel 1, y $E_8$ nivel 2) donde la historia de Kazhdan-Lusztig [4,5,6,7,8] no se puede aplicar...

Pregunta 1 : ¿Es la equivalencia $Rep^{ss}(U_q\mathfrak g)\cong Rep_k(\widetilde{L\mathfrak g})$ conocido por todos $\mathfrak g$ y $k$ ¿o hay excepciones?

Pregunta 2 : ¿Es la equivalencia $Rep^{ss}(U_q\mathfrak g)\cong Rep_k(\widetilde{L\mathfrak g})$ conocido sólo a nivel de categorías de fusión, o también se han comparado los trenzados? ¿Y las estructuras de las cintas?

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Referencias:

[1] M. Finkelberg, An equivalence of fusion categories, Geom. Funct. Anal. 6 (1996), 249-267.

[2] M. Finkelberg, Erratum to: Una equivalencia de las categorías de fusión, Geom. Funct. Anal. 6 (1996), 249-267; Geom. Funct. Anal. 23 (2013), 810-811.

[3] Y.-Z. Huang y J. Lepowsky, Tensor categories and the mathematics of racional y logarítmica de la teoría del campo conforme, ArXiv:1304.7556

[4] D. Kazhdan y G. Lusztig, Ane Lie algebras and quantum groups, Duke Math. J., IMRN 2 (1991), 21-29.

[5] D. Kazhdan y G. Lusztig, Tensor structures arising from ane Lie algebras, I, J. Amer. Math. Soc. 6 (1993), 905-947.

[6] D. Kazhdan y G. Lusztig, Tensor structures arising from ane Lie algebras, II, J. Amer. Math. Soc. 6 (1993), 949-1011.

[7] D. Kazhdan y G. Lusztig, Tensor structures arising from ane Lie algebras, III, J. Amer. Math. Soc. 7 (1994), 335-381. 25

[8] D. Kazhdan y G. Lusztig, Tensor structures arising from ane Lie algebras, IV, J. Amer. Math. Soc. 7 (1994), 383-453.

Answer 1

Esto es lo que yo entiendo de la situación. Pregunta 1: sí, la equivalencia es conocida en todos los casos. El trabajo de Kazhdan-Lusztig tiene algunas limitaciones en el nivel por lo que el enfoque de Finkelberg no es aplicable. Sin embargo, las categorías en cuestión son bastante fáciles de trabajar explícitamente: por ejemplo $E_8$ en el nivel 1 sólo tiene 1 objeto simple y $E_8$ en el nivel 2 tiene 3 objetos simples y reglas de fusión de la categoría Ising. Debo señalar que en estos casos de nivel pequeño hay un problema con el lado del grupo de bucles; por ejemplo, no es trivial demostrar que esta categoría es rígida (Finkelberg lo deduce de su equivalencia, que no está disponible para niveles pequeños). Esto podría verificarse caso por caso, pero actualmente tenemos la prueba de Huang de la conjetura de Verlinde que se ocupa de todos los casos y mucho más.

Pregunta 2: esta equivalencia es una equivalencia de categorías tensoriales modulares, por lo que incluye tanto la estructura trenzada como la de cinta. La terminología ha cambiado desde la época del artículo de Finkelberg; sus "categorías de fusión" son lo que hoy se llama "categorías de fusión de cinta" o "categorías premodulares".

Answer 2

Me tomo la libertad de copiar aquí un correo electrónico de Finkelberg a mí mismo:

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Querido André,

1. Los trenzados y las estructuras de las cintas también coinciden. El trenzado se reconstruye a partir de los sistemas locales; la estructura de cinta (equilibrio) procede de la acción de $L_0$ y se puede calcular explícitamente en cualquier irreducible. Hazme saber si necesitas detalles sobre esto.

2. Esta es una pregunta para Huang y Lepowsky. Que yo recuerde, ellos lo saben para todas las álgebras y niveles sin excepciones (ver las referencias en mi Erratum). Mi argumento necesitaba la rigidez de las categorías KL que sólo se estableció con los excetpiones anteriores.

Todo lo mejor, Michael.

Answer 3

La siguiente respuesta es de Yi-Zhi Huang. La publico aquí con su permiso.

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El enfoque de Finkelberg no puede utilizarse para dar una functor tensorial en el caso excepcional ( $\mathfrak g=E_6$ , $k=1$ , $\mathfrak g=E_7$ , $k=1$ y $\mathfrak g=E_8$ , $k=1$ ou $2$ ). El enfoque de Finkelberg de Finkelberg se puede esbozar como sigue:

Kazhdan-Lusztig construyó una equivalencia entre una categoría de módulo de grupo cuántico en una raíz de la unidad y una categoría de módulos de álgebra de Lie afín de un nivel integral negativo. En el lado del grupo cuántico, se puede tomar un subcociente para obtener una categoría tensorial rígida semisimple (de hecho una categoría tensorial modular). El mismo procedimiento funciona ciertamente en el lado del álgebra de Lie afín. Así que también se tiene un subcotiente semisimple del álgebra de Lie afín del nivel integral negativo. La idea principal de Finkelberg es utilizar el functor contragrediente para módulos de álgebras de Lie afines. Este functor envía los módulos de niveles negativos a los de niveles positivos (ya que el funtor es el funtor de contragredientes del álgebra de Lie, no el funtor de contragredientes del álgebra de vértices de vértices). El paso crucial es demostrar que este functor es un functor tensorial. Aquí es donde Finkelberg tenía una laguna. Se necesita el Fórmula Verlinde para llenar el vacío. A partir de esta descripción, se puede ver que el trabajo de Finkelberg no tiene nada que ver con los grupos cuánticos. Es puramente un resultado en el lado del álgebra de Lie afín. Es el trabajo de Kazhdan-Lusztig el que da la conexión con el grupo cuántico.

Ahora bien, como el trabajo de Kazhdan-Lusztig no cubre la excepcionalidad casos excepcionales, el enfoque de Finkelberg fracasa por completo. Para construir un functor tensorial, hay que hacerlo directamente. Las categorías abelianas son obviamente equivalentes y se sabe que las reglas de fusión son las mismas. Pero éstas están lejos de la construcción de una equivalencia de categorías tensoriales.

Una posibilidad es ver si el método de Kazhdan-Lusztig puede ser adaptarlo. Pero en este caso hay que trabajar directamente con el subcociente semisimple subcotiente de la categoría de grupos cuánticos, ya que por el lado del álgebra de Lie afín la categoría no es un subcociente de una categoría tensorial trenzada rígida no no simétrica. No parece fácil adaptar directamente el método de Kazhdan-Lusztig ya que la teoría de la representación de las álgebras de Lie afines en niveles integrales positivos es muy diferente de la teoría de representación de las de las álgebras de Lie afines en niveles integrales negativos.

Creo que si hay una construcción en los casos excepcionales (principalmente el caso $E_8$ , nivel $2$ ), también debería funcionar en el nivel general positivo de nivel positivo. La construcción de Finkelberg es natural como construcción de una equivalencia entre una categoría de nivel integral positivo y una categoría de nivel integral negativo. Pero no es natural como construcción de una equivalencia entre una categoría cuántica de grupo y una categoría integral positiva de nivel. El fracaso en los casos excepcionales es una indicación. Debería haber una construcción directa y natural que funcione en todos los casos y proporcione una comprensión real de las conexiones entre las categorías modulares tensoriales categorías modulares de los grupos cuánticos y de las álgebras de Lie afines.