Declaración principal como teorema o corolario

Question

En un texto, a menudo, habrá algunos resultados importantes que son generalmente llamados Teoremas. Las cuentas intermedias se llaman los Lemas, y las declaraciones que siguen inmediatamente a partir de los resultados anteriores se llama Corolarios.

Hay un problema aquí, sin embargo. Especialmente en el contexto del teorema de provers: Un Teorema $A$ a menudo se demostró el uso de la inducción. Para realizar esta inducción, la declaración del teorema necesita ser reforzado para $B$ (de lo contrario, la inducción no 'ir a través de'). El original de la declaración de $A$ del teorema seguirá entonces trivialmente de $B$. Ahora tenemos tres posibles convenciones de nomenclatura para esto:

• Llame a $B$ un Lexema y $A$ un Teorema. Esto es atractivo, porque $A$ es la principal declaración de interés. El problema es, sin embargo, que la prueba de $A$ se realiza principalmente en el $B$, que ahora se llama un 'sin importancia' Lexema.

• Llame a $B$ un Teorema y $A$ Corolario. Esto es atractivo porque $A$ sigue inmediatamente de $B$, por lo tanto, un Corolario. También, se hace claro que la prueba de $B$ contiene una gran cantidad de pasos importantes. Sin embargo, si analizamos el texto de forma rápida, se podría perder la declaración principal $A$, porque es formulada como una simple consecuencia de $B$.

• Una tercera opción es no tener $B$, pero sólo del estado Teorema $A$, y, a continuación, realice el fortalecimiento de la declaración de 'en línea' en la prueba a través de un corte. Esto también es un inconveniente porque oculta la técnica utilizada para demostrar $B$, lo que puede ser muy importante.

Yo estaría interesado en cómo esto se suele solucionar.

Answer 1

Otro enfoque es presentar ambos como teoremas, pero presentar solo A como un "resultado clave" en la introducción, mencionando que se desprende del B más fuerte pero más técnico.

Answer 2

En mi opinión, la mejor cosa a hacer es ser honesto y explicar que el $A$ es la declaración de interés principal y que uno se ve obligado a demostrar la declaración más fuerte en la $B$ sólo por razones técnicas.

Por lo que yo llamaría las declaraciones Teorema $B$ y el Corolario $A$ (desde $A$ desciende de $B$, después de todo), o tal vez Teorema $B$ y el Teorema $A$ si tengo la intención de subrayar la importancia de $A$.

Creo que también es conveniente escribir un comentario explicando por qué la prueba argumento no funciona para $A$; de esta manera, el lector no esté motivada para omitir la prueba de $B$.

Answer 3

Yo diría que el principal resultado de frente, a lo largo de las líneas de:

En este documento vamos a demostrar el siguiente teorema:

Teorema: (declaración del teorema)

A continuación, continuar con la explicación de la prueba, incluyendo la introducción de B:

Con el fin de permitir el uso de la inducción, fortalecemos (A) para dar:

Teorema B: (declaración del teorema B)

Luego de establecer la base y el inductivo de los casos, además de cualquier otra cosa que usted necesita para demostrar B. Entonces usted puede terminar con:

Teorema de la siguiente manera simplemente como un corolario.

Answer 4

Como usted dijo, llamamos a algo un teorema para resaltarlo como un resultado importante (independientemente de lo difícil que era para probar), mientras que un lema es un resultado intermedio en el camino a un teorema.

Por este criterio, entonces sin duda debemos tener Teorema A. Si llamar a la B, un teorema o un lexema es un juicio sobre si la generalización es de suficiente interés para ser importante en su propio derecho ($\implies$ teorema), o si en realidad es sólo un detalle técnico para hacer la prueba de ir a través de ($\implies$ lema).

Answer 5

Usted dice que "Especialmente en el contexto del teorema de provers: ..." luego pasar a describir confundir el contenido y la presentación. El contenido es un árbol de dependencias de teoremas. La presentación utiliza palabras como "lema", "teorema", y "corolario" para ayudar a organizar la información para un lector.

Si estamos "en el contexto del teorema provers", estamos hablando de contenido, por lo que la resolución es sencilla: todo es un teorema. Quizás uno quiere permitir la presentación de marcado en el teorema de armario, pero la mezcla de contenido y presentación es un anti-patrón.

(En el contexto de la presentación, la situación que describes es el patrón familiar de tener un desenlace corolario después de algunos complicado (secuencia de) teorema(s) en el trabajo anterior. A continuación, el etiquetado indica la cantidad de trabajo que el lector debe esperar a gastar para entender el objeto. Hasta teorema de provers empezar demostrando teoremas acerca de la dificultad en la comprensión de una declaración y prueba suponiendo un lector modelo, esto no es en el contexto del teorema provers.)