¿Qué es para tmf como KR es para KO?

Question

El $E_\infty$-anillo de espectro $KU$ de los complejos K-teoría lleva a una canónica de la involución inducidas desde el complejo de la conjugación de vector complejo paquetes. El homotopy puntos fijos de esta $\mathbb{Z}_2$-acción es $KO$ y el correspondiente $\mathbb{Z}_2$-equivariant cohomology teoría es KR-teoría ("real K-teoría").

Un agradable conceptual que de cuenta de este estado de cosas que pone en el contexto más amplio de la cromática homotopy teoría fue dada en el apéndice de

• Tyler Lawson, Niko Naumann, Estrictamente conmutativa de la realización de diagramas sobre el álgebra de Steenrod y topológica de las formas modulares en el primer 2 (arXiv:1203.1696)

que es útil amplificado y ampliado en la sección 3 de

• Akhil Mathew, La homología de $tmf$ (arXiv:1305.6100)

y en la sección 2 de

• Akhil Mathew, El homotopy grupos de $TMF$, hablar notas (pdf)

Es decir, $KU$ equipada con su involución aparece, a través de Goerss-Hopkins-Miller, como la $E_\infty$-estructura de la gavilla de los "módulos de la pila de 1-dimensión tori", que es sólo $\mathcal{M}_{\mathbb{G}_m}\simeq \mathbf{B}\mathbb{Z}_2$.

El principal teorema (1.2) de Lawson-Naumann anterior es que la inclusión $KO \to KU$ obtenido de esta manera como la imagen en la formación de global secciones de la canónica de cubierta doble de $\mathcal{M}_{\mathbb{G}_m}$ es (en prime 2) la restricción de similar inclusión de topológica de las formas modulares $tmf \to tmf_1(3)$.

La discusión de tales finito cubiertas de los módulos de la pila de curvas elípticas va de vuelta a un resultado por Mahowald-Rezk y similares realización de $tmf$ como homotopy de punto fijo espectro inducida por una cubierta de curvas elípticas con "N de nivel de estructura" es en

• Vesna Stojanoska, la Dualidad de Topológica de las Formas Modulares (arXiv:1105.3968)

esta vez el grupo de actuación es $GL_2(\mathbb{Z}_2)$ (para $N= 2$).

Ahora, supongo que si yo cavar a través de todo esto un poco más todo será claro, pero ahora la siguiente pregunta parece tan obvio como su declaración explícita que parece ser la falta de todos los anteriores:

Pregunta. ¿Qué es exactamente el real orientados a cohomology teoría de la $KR$ as $KO$ es $tmf$?

En realidad tengo una cuestión más concreta que estoy tratando de entender, pero que requiere de los siguientes 2 a la sentencia introducción:

el homotopy de fibra de $B String \to B O$ debe ser equivalente a $Pic(KU)_{\leq 3}$. Por el argumento en la sección 8 de

• Mateo Ando, Andrew J. Blumberg, David Gepner, Giros de la K-teoría y TMF (arXiv:1002.3004)

esto debería inducir un homomorphism de conectivo espectros de la forma

$$T: Pic(KU)_{\leq 3} \longrightarrow GL_1(tmf) \,.$$

A la izquierda tenemos un cociente de mapa de $Pic(KU)_{\leq 3} \to (Pic(KU)_{\leq 3})//\mathbb{Z}_2$ inducida por encima de la involución, por lo tanto, esencialmente, pasando a la KR-teoría.

Pregunta. En que sentido tendría $T$ descienden de forma natural a lo largo de este cociente? Específicamente, hay un anillo de espectro $Q$ con $\mathbb{Z}_2$-acción cuyo homotopy puntos fijos es $tmf$ que $T$ natural desciende a $$(Pic(KU)_{\leq 3})//\mathbb{Z}_2 \longrightarrow GL_1(Q)//\mathbb{Z}_2$$

?

O bien, si todo esto se engaña: lo ES la forma natural de llevar en el $\mathbb{Z}_2$-acción en el derecho, compatible con KR-teoría?

Answer 1

Deje $G$ ser un grupo finito. Entonces uno tiene un monoidal simétrica, estable $\infty$-categoría de la (auténtica) $G$-espectros. Dentro de aquí es una subcategoría obtenidos por la localización (que se comporta más como un finalización) en el álgebra conmutativa objeto de $\mathbb{D}(G_+)$ donde $\mathbb{D}$ denota Spanier-Whitehead dualidad. Esta subcategoría es equivalente a la $\infty$-categoría de los espectros equipado con un $G$-acción, es decir, $\mathrm{Fun}(BG, \mathrm{Sp})$. Vamos a llamar a esta $G$-espectros de Borel-equivariant.

El $\mathbb{Z}/2$-espectro de $KR$ lo que representa Atiyah s $KR$-teoría de $\mathbb{Z}/2$-espacios de Borel-equivariant, y viene de la $\mathbb{Z}/2$-acción en el complejo de $K$-teoría de la $KU$ dada por el complejo de la conjugación. Como resultado, $KR$ puede ser construido como un equivariant espectro de una se conoce la conjugación de la acción en $KU$.

Dado cualquier fieles $G$-Galois de la extensión de $E_\infty$-anillo de espectros $R \to R'$ en el sentido de Rognes, así se puede construir una auténtica $G$-espectro, que es el Borel-equivariant espectro que viene de la $G$-acción en $R'$. Como $KR$, estos genuino $G$-espectros se han trivial Tate construcciones. Para $TMF$ con un primer $p$ invertida, hay una serie de extensiones de Galois que vienen de tomar cubiertas de los módulos de la pila de curvas elípticas mediante la imposición de algún tipo de estructura de nivel. Cada una de estas extensiones de Galois da, por tanto, un auténtico $G$-espectro que uno puede pensar como análoga a la del real $K$-teoría de la $KR$.

(En esencia, el contenido de esta respuesta es que, aunque no análogos de $KR$ para $TMF$, no hay nueva información que contienen que usted no ha citado, ya que $KR$ está determinado exclusivamente en términos de la $\mathbb{Z}/2$-acción en $KU$.)