¿Cuál es la noción correcta de percolación auto dual (bidimensional) en R ^ 4?

Question

Por una celosía en $\mathbb{R}^2$, si se incluyen cada borde de forma independiente con una probabilidad de $p$ (es decir, bonos de percolación), es bien sabido que hay una probabilidad de $0 < p_c < 1$ dependiendo de la red, de tal forma que si $p > p_c$, entonces no hay casi seguramente un infinito de componentes (es decir, con una probabilidad de $1$), y si $p < p_c$, entonces casi seguro que todos los componentes son finitos.

La plaza de la celosía es especial porque es auto-dual. Esto permite suponer que en este caso particular,$p_c = 1/2$, aunque la prueba de este hecho, originalmente debido a Harry Kesten, es bastante sutil.

Uno se pregunta si hay un análogo de hecho, para "bidimensional" de percolación en $\mathbb{R}^4$. En particular, considerar la hypercubic de celosía como un $1$-dimensiones cúbica complejo, y, a continuación, adjuntar dos dimensiones de la plaza "plaquetas" de forma independiente con una probabilidad de $p$. Desde el hypercubic celosía se auto-dual, se podría esperar algún tipo de transición de fase al $p=1/2$. Mi esperanza es que la topología nos daría el lenguaje adecuado para hablar de esto.

Una posibilidad, y tal vez la mejor respuesta que puedo imaginar, fue sugerido a mí por Russ Lyons: Si $p > 1/2$, entonces hay casi seguramente incrustado aviones, y si $p< 1/2$, entonces es casi seguro que no. Aquí, integrado en el plano debe ser la unión de cerrado $2$-de las células. Resulta que una vez que $p > 1/2$ en $\mathbb{R}^2$, que no son sólo componentes infinito, lo que implica incrustado la mitad de las líneas, pero incrustado líneas.

Otra posibilidad es que una vez $p > 1/2$ hay casi seguramente delimitada $1$-dimensiones de los ciclos en la homología $H_1 ( - , \mathbb{Z} / 2\mathbb{Z})$, los cuales son los límites de unbounded dos dimensiones complejos, y que al $p < 1/2$ hay casi seguro que no. (Creo que esto es similar a la "plaquette de percolación" estudiada por Jennifer Chayes en su Tel. D. tesis, pero el trabajo que conozco es en $\mathbb{R}^3$.)

Yo no soy un experto en la teoría de la percolación, y realmente me gustaría saber si alguien sabe de algún trabajo previo en esta área, o de cualquiera de pie conjeturas. (O es que hay alguna razón obvia de que cualquiera de las posibilidades que me sugirió que podría ser descartado?)

Answer 1

El papel "en PLAQUETAS, ESFERAS, Y el ENREDO" de GEOFFREY R. GRIMMETT Y ALEXANDER E. HOLROYD no se ocupa de la auto-doble problema, pero, sin embargo, podría ser de interés para usted. Si se muestra que "La alta densidad de la plaquette modelo de percolación en d dimensiones contiene una superficie que es homeomórficos a la (d − 1)esfera y encierra al origen". Aquí está el enlace: http://www.statslab.cam.ac.uk/~grg/papers/sphere8.pdf

Answer 2

Una buena manera de ver la dualidad en p = 1/2 es considerar p = 1/2 percolación de Voronoi en H ^ 4, el espacio hiperbólico de cuatro. Es decir, que cada celda de Voronoi de un proceso de Poisson en H ^ 4 se coloree de blanco o de vuelta con probabilidad 1/2, independientemente de las demás. Ahora tendrá un plano negro o uno blanco que conecta las piezas apropiadas del límite.