El bloqueo del cardán aparece en mis cuaterniones

Question

Sospecho que esto es un poco básico para mathoverflow, ya que todavía soy un estudiante.

He estado jugando con los cuaterniones como medio para eliminar el bloqueo del cardán. Por lo que entiendo, un lugar el bloqueo del cardán se produce cuando se gira $\frac{\pi}{2}$ alrededor del eje Y. Si creo dos matrices de rotación $R_{1}$ gira primero $\phi$ alrededor del eje x y $\frac{\pi}{2}$ alrededor del eje Y, mientras que $R_{2}$ gira primero $\frac{\pi}{2}$ alrededor del eje y y luego $\theta$ alrededor del eje z.

$\begin{equation} R_{1} = R_{z}(0) R_{y}(\frac{\pi}{2}) R_{x}(\phi) \\ = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos(\phi) & -\sin(\phi) \\ 0 & \sin(\phi) & \cos(\phi) \end{bmatrix} \\ = \begin{bmatrix} 0 & \sin(\phi) & \cos(\phi) \\ 0 & \cos(\phi) & -\sin(\phi) \\ -1 & 0 & 0 \end{bmatrix}, \end{equation}$

$\begin{equation} R_{2} = R_{z}(\theta) R_{y}(\frac{\pi}{2}) R_{x}(0) \\ = \begin{bmatrix} \cos(\theta) & -\sin(\theta) & 0 \\ \sin(\theta) & \cos(\theta) & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \end{bmatrix} \\ = \begin{bmatrix} 0 & -\sin(\theta) & \cos(\theta) \\ 0 & \cos(\theta) & \sin(\theta) \\ -1 & 0 & 0 \end{bmatrix}. \end{equation} $

Desde $R_{1} = R_{2}^{-1} \Rightarrow R_{1}(\theta) = R_{2}(-\theta)$ Hemos perdido un grado de libertad. Que es lo que espero.

Por lo que entiendo, si realizo las mismas rotaciones utilizando cuaterniones, debería evitar el bloqueo del cardán?

$ Q_{1} = Q_{z}(0) \times Q_{y}(\frac{\pi}{2}) \times Q_{x}(\theta) = (1, 0, 0, 0) \times (\frac{1}{\sqrt(2)}, 0, \frac{1}{\sqrt(2)}, 0) \times (\cos\frac{\theta}{2}, \sin\frac{\theta}{2}, 0, 0)\\ = \frac{1}{\sqrt(2)}(\cos\frac{\theta}{2}, \sin\frac{\theta}{2}, \cos\frac{\theta}{2}, -\sin\frac{\theta}{2})$

$ Q_{2} = Q_{z}(\phi) \times Q_{y}(\frac{\pi}{2}) \times Q_{x}(0) = (\cos\frac{\phi}{2}, 0, 0, \sin\frac{\phi}{2}) \times (\frac{1}{\sqrt(2)}, 0, \frac{1}{\sqrt(2)}, 0) \times (1, 0, 0, 0) \\ = \frac{1}{\sqrt(2)}(\cos\frac{\phi}{2}, -\sin\frac{\phi}{2}, \cos\frac{\phi}{2}, \sin\frac{\phi}{2})$

Al establecer $\phi = -\theta$ , $Q_{2}$ se convierte en

$ Q_{2} = \frac{1}{\sqrt(2)}(\cos\frac{-\theta}{2}, -\sin\frac{-\theta}{2}, \cos\frac{-\theta}{2}, \sin\frac{-\theta}{2})$ que debido a las propiedades trigonométricas se convierte en $ Q_{2} = \frac{1}{\sqrt(2)}(\cos\frac{\theta}{2}, \sin\frac{\theta}{2}, \cos\frac{\theta}{2}, -\sin\frac{\theta}{2})$

Lo que significa que $Q_{1}$ y $Q_{2}$ gira alrededor del mismo eje sólo en sentido contrario, y hemos perdido un grado de libertad (¿?). ¿Me estoy perdiendo algo fundamental?

Answer 1

No hay ninguna paradoja: has hecho el mismo cálculo de dos maneras diferentes y has obtenido la misma respuesta, como debería ser. La cuestión es cómo pensar en el bloqueo del cardán.

¿Cómo se debe representar una rotación en tres dimensiones? Puedes intentar usar los ángulos de Euler para representarla usando tres ángulos de rotación, pero hay algo sospechoso en esto. Eso parametriza naturalmente un toroide tridimensional, pero el grupo de rotación no es un toroide (más bien es un espacio proyectivo). Ni siquiera tiene un toro como espacio de cobertura, sino una 3-esfera. Así que el problema es que las coordenadas ingenuas no dan la topología correcta, y por lo tanto algo debe ir mal en los casos degenerados para fijar la topología. El bloqueo del cardán es esencialmente un nombre para lo que va mal.

Cuando se dice que los cuaterniones evitan el bloqueo del cardán, se quiere decir que los cuaterniones unitarios forman naturalmente una 3-esfera, por lo que no hay problemas de topología y dan una hermosa cobertura doble del grupo de rotación (a través de un mapa muy simple). Llevar la cuenta de un cuaternión unitario es fundamentalmente una forma más natural de describir una rotación que llevar la cuenta de tres ángulos de Euler.

Por otro lado, si describes tu cuaternión a través de los ángulos de Euler, entonces el bloqueo del cardán aparece de nuevo, no en los cuaterniones en sí, sino en tu sistema de coordenadas para ellos. Eso es lo que estás viendo en tus cálculos: estás haciendo un cálculo estándar para ver los efectos del bloqueo de cardán, y luego vuelves a hacer el mismo cálculo usando cuaterniones.

Algunas explicaciones sobre el bloqueo del cardán no distinguen claramente entre la geometría/topología subyacente y la elección de las coordenadas, lo que siempre me ha molestado, ya que eso es esencial para entender lo que sucede matemáticamente.