¿Qué sale mal para las incrustaciones de Sobolev en$k=n/p$?

Question

Para $u\in W^{k,p}(U)$ donde $U\subseteq\mathbb{R}^n$ es abierto y acotado con $C^1$-límite, tenemos el célebre desigualdades de Sobolev:
Si $k < n/p$ entonces $u\in L^q(U)$ para $q$ satisfacción $\frac{1}{q}=\frac{1}{p}-\frac{k}{n}$,
Si $k > n/p$ entonces $u$ se encuentra en un determinado Hölder espacio.

También se sabe que esto no funciona para el caso límite $k=n/p$ (que está relacionado con la Sobolev conjugado $p^*\to \infty$ as $p\to n$), aunque sería de esperar/esperanza para $u\in L^\infty(U)$.
**Una excepción como Denis menciona: funciona para $(k,p)=(n,1)$ a través del teorema fundamental del cálculo.
**Como contraejemplo, la función de $u(x)=\log\log(1+\frac{1}{|x|})$ dominio $U=int(\mathbb{D}^n)$ se encuentra en $W^{1,n}$, pero no en $L^\infty$ (para $n>1$). En su lugar, al parecer, el resultado final es que las funciones que se encuentran en "el espacio de las funciones acotadas media de oscilación".

1) hay una intuitiva / razón más profunda de por qué va mal?
2) ¿hay algún tipo de geométrica razón por la Sobolev incrustación teorema tiene un error de $k=n/p$? Me han dicho que este caso crítico parece surgir a menudo en la geometría/topología.

Answer 1

Voy a tomar una puñalada. A continuación vamos a considerar el caso de $W^{1,n}$ en $\mathbb{R}^n$. Mi respuesta corta es que bajo el reescalado por factor $\lambda$, derivados de la escala de $\lambda$ y los volúmenes por $\lambda^{-n}$, por lo que la integración de los derivados de la $n$ no va a cambiar en virtud de reescalado. Los siguientes ejemplos ilustran cómo esto afecta a las incrustaciones.

Como para no Titular de la continuidad, mira un suave golpe función de $\varphi$ apoyado en $B_1$ con $|\nabla \phi| < 2$. El rescalings $\varphi(x/\epsilon)$ arbitrariamente mal módulo de continuidad, pero delimitada $W^{1,n}$ norma, desde (punto clave) la derivada de la $n$ (~$\epsilon^{-n}$) crece exactamente igual que el volumen de apoyo (~$\epsilon^{n}$) decae. Esto nos dice que no podemos controlar el módulo de continuidad por la $W^{1,n}$ norma. (Como era de esperar, estas funciones se han ilimitado $W^{1,p}$ norma para $p > n$.)

Como para no incluir en $L^{\infty}$, la manera en que yo iba a tratar de ver cómo las cosas podrían ir mal es tomar una función $\psi$ positivo, apoyado en $B_2$, con $\psi \equiv 1$ a $B_1$ e $|\nabla \psi| < 2,$ y añadir diádica rescalings juntos. Considere la posibilidad de $$u(x) = \sum_{i} h_i\psi(2^{i}x)$$ para algunos $h_i$ vamos a elegir para dar delimitada $W^{1,n}$ norma, pero sin límites de altura de $u$. Tenga en cuenta que $|\nabla (h_{i}\psi(2^{i}x))|$ crece como $h_i2^{i}$ y son soportados en discontinuo diádica anillos de volumen como $2^{-in}$. Por lo tanto, para obtener delimitada $W^{1,n}$ norma queremos $$\sum_{i} h_i^{n} < C.$$ De nuevo, el punto clave es que el volumen decae con el mismo poder que los derivados de rescalings a la $n$ crece. Para dar el ilimitado sólo queremos $$\sum_{i} h_i = \infty.$$ El ejemplo canónico de dicha secuencia es $h_i = 1/i$. En definitiva, este es el mismo ejemplo, cuando se dio desde $\sum_{i=1}^k 1/i$ ~ $\log(k)$ ~ $\log\log(2^k)$ es el tamaño de $u$ a $r = 2^{-k}$, pero muestra cómo este ejemplo surge naturalmente.