Agregado de Agosto de 2016: he escrito esto, disponible en https://arxiv.org/abs/1608.02999
$\def\Hom{\mathrm{Hom}} \def\Map{\mathrm{Map}} \def\ad{\mathrm{ad}}$
Creo que esto es cierto. Voy a esbozar una prueba posible de aquí. No he
cuidadosamente comprobado todo, y hay cosas que hay que comprobar. Siéntase libre de hacerlo.
En primer lugar, podemos suponer $H=G$: queremos demostrar que $(B_G\Pi)^G\a
\mathrm{Mapa}(BG,B\Pi)$ is an equivalence if $G$ es
compacto de la Mentira y de la $\Pi$ es compacto Mentira y una de tipo 1.
Podríamos así
considerar la inducida por el mapa en homotopy fibras en los mapas a $B\Pi$ (inducida por el
la evaluación en el punto de referencia $BG$.) Es decir, queremos mostrar
$$
\Hom(G,\Pi) \a \Map_*(BG,B\Pi)
$$
es un débil equivalencia. Aquí $\Hom(G,\Pi)$ es topologized como un
subespacio de $\Map(G,\Pi)$. Sabemos que este es homeomórficos a
$\coprod_{[\phi]} \Pi/C_\Pi(\phi(G))$, un subproducto más de conjugacy
clases de homomorphisms $G\to \Pi$ (ver
Cerca de homomorphisms de compacto Mentira grupos conjugado).
Dado esto, es evidente, ya tenemos una equivalencia al $G$ es
compacto y conectado (reducir, para el caso en que $\Pi$
es un toro). No es tan fácil ver por qué esto es así para general $G$:
a pesar de que puede "calcular" los dos lados, la contabilidad es diferente y
difícil de igualar para arriba.
He aquí un intento general de la prueba, basado en las ideas que funcionan
al $\Pi$ es un toro (que implican la idea de continuo cochains
como en Graeme Segal, "Cohomology de grupos topológicos"). Debe encajar en algunos ya conocida tecnología (cohomology de grupos topológicos con coeficientes en un topológico 2-el grupo?), pero no quiero que se molesta en averiguar qué o cómo.
Consideran que los datos que consta de
un grupo de $\Pi$ (un compacto de Lie de tipo 1 como en el anterior), conectado con
componente $\Pi_0$ (que es abelian),
un espacio vectorial $V$,
- un grupo de homomorphism $\exp\colon V\to \Pi$,
- una acción $\ad\colon \Pi/\Pi_0\to \mathrm{Aut} V$,
- tal que $\exp(\ad(\pi)v)=\pi \exp[v] \pi^{-1}$.
(Es una especie de cruzado módulo). Dado esto, definimos $E(G, (\Pi,V))$
para ser el espacio de los pares de $(f,v)$ donde $f\colon G\to \Pi$ e $v\colon
G\times G\a V$ son continuos los mapas, la satisfacción de
- $f(g_1)f(g_2)=\exp[ v(g_1,g_2)] f(g_1g_2)$,
- $v(g_1,g_2)+v(g_1g_2,g_3)= \ad(f(g_1))v(g_2,g_3) + v(g_1,g_2g_3)$.
(Yo podría, además, requieren de una normalización: $f(e)=e$. O no).
Los ejemplos que tengo en mente son $E:= E(G, (\Pi, T_e\Pi))$ e $E^0:=
E(G, (\Pi,0))$. Los reclamos son como sigue.
$E$ es débilmente equivalente a $\Map_*(BG,B\Pi)$. Para el cálculo de la
la asignación de espacio, usted necesita subir el cosimplicial espacio $[k] \mapsto
\Map_*(G^k, B\Pi)$. Because $B\Pi$ es un 2-tipo, no es necesario
subida muy lejos. La idea es que si usted hace esto, y que tenga en mente
hechos tales como:
$\Pi$ es equivalente a $\Omega B\Pi$, y
el fibration $(v,\pi)\mapsto (\pi, \exp[v]\pi) \colon V\times\Pi\to \Pi\times \Pi$ es equivalente a la trayectoria libre fibration $\Map([0,1],\Pi)\to \Pi\times \Pi$,
se ve que usted obtenga una equivalencia. (Me vino con la definición
de $E$ exactamente por hacer esto).
Que es una especie de boceto.
Más concretamente: $\Map_*(BG,B\Pi)$ puede ser identificado con el espacio de los mapas entre señaló simplicial espacios, de $G^\bullet$ a $S_\bullet:=\bigl([n]\mapsto \Map_*(\Delta^n/\mathrm{Sk}_0\Delta^n, B\Pi)\bigr)$. El espacio de $E$ es también un espacio de mapas entre los tales, de la $G^\bullet$ a $N_\bullet$ donde $N_\bullet$ es un simplicial espacio construido a partir de los cruzados módulo de $(\Pi,V)$ (el nervio de la cruzó módulo, como en https://mathoverflow.net/q/86486 ) con $N_n \approx \Pi^n\times V^{\binom{n}{2}}$. No es difícil mostrar que $N_\bullet$ e $S_\bullet$ son débilmente equivalente Reedy fibrant simplicial espacios; ambos reciben un mapa de $\Pi^\bullet$, que muestra la equivalencia. (Pero tenga en cuenta: mostrar que $N_\bullet$ es Reedy fibrant se basa fundamentalmente en el hecho de que $\exp$ es un cubriendo mapa.)
$E^0$ es homeomórficos a $\Hom(G,\Pi)$. Yup.
La inclusión $E^0\subseteq E$ es un débil equivalencia.
Para ver esto, vamos a $C^1:=\Map(G,V)$, como un grupo topológico bajo
pointwise adición. Hay una acción $C^1\curvearrowright E$, por
$u\cdot (f,v)=(f',v')$ donde
- $f'(g) := \exp[u(g)] f(g)$,
- $v'(g_1,g_2) := u(g_1)-u(g_1g_2) + \ad(f(g_1))u(g_2) + v(g_1,g_2)$.
Es útil tener en cuenta que para cualquier $(f,v)\in E$, el mapa resultante
$G\xrightarrow{f} \Pi\to \Pi/\Pi_0$ es un homomorphism. Por lo tanto podemos escribir
$E=\coprod E_\gamma$ para $\gamma\in \Hom(G,\Pi/\Pi_0)$, e $C^1$ actos
en cada una de las $E_\gamma$.
Considere la posibilidad de $(f,0)\in E_\gamma^0= E_\gamma\cap E^0$. Tenga en cuenta que $u\cdot (f,0)$ tiene la forma $(f',0)$ para algunos $f'$ si y
sólo si $u\in Z^1_\gamma$, donde es el conjunto de los $u\colon G\to V$
tal que
- $u(g_1)-u(g_1g_2) + \ad\gamma(g_1) u(g_2)=0$.
Por lo que la acción pasa a un inyectiva mapa de $C^1\times_{Z^1_\gamma} E^0_\gamma\a
E_\gamma$. De hecho, debe ser una homeomorphism. A ver que es
surjective, revisión
$(f,v)\in E_\gamma$; necesitamos resolver para $u\in C^1$ tal que
- $u(g_1)-u(g_1g_2)+\ad\gamma(g_1)u(g_2)=v(g_1,g_2)$.
Esto equivale a la desaparición de la $H^2$ en el complejo de $C^\bullet_\gamma$ de
continua
cochains: $C^t_\gamma:=\Map(G^{t}, V_\gamma)$ (donde el diferencial de usos
la acción $\ad\gamma\colon G\to\mathrm{Aut}(V)$). El
de fuga es debido a que $G$ es compacto, por lo que podemos "promedio" de más de Haar
medir a su vez no equivariant contratante homotopy en
$D^\bullet_\gamma=\Map(G^{\bullet+1}, V_\gamma)$ a un contratante homotopy
en $C^\bullet_\gamma = (D^\bullet_\gamma)^G$.
Teniendo en cuenta esto, ya que tanto $C^1$ e $Z^1_\gamma$ son
contráctiles grupos, (de hecho, $Z^1_\gamma=V/V^{\gamma(G)}$ por $H^1=0$), se
debe tener ese $C^1\times_{Z^1_\gamma} E^0_\gamma$ es débilmente
equivalente a $E^0_\gamma$.
Nota: en el caso de que $\Pi$ es abelian, simplemente obtenemos un homeomorphism
$C^1\times E^0\approx E$.
