¿Cómo determinar los grupos de homotopía de la suspensión de un espacio?

Question

Que $SX$ sea la suspensión de CW complejo. ¿Cuáles son algunos resultados para determinar los grupos de homotopía de $\pi_n(SX)$?

Answer 1

Esto, en general, un increíblemente difícil problema. Incluso sólo queremos calcular el racional homotopy grupos de la suspensión de $X$ $X$ es simplemente conectado, donde podemos hacer todo el uso racional homotopy teoría a reducir las cosas a conmutativa DGAs, este comienza a involucrar las cosas como libre de álgebras de Lie y similares.

A nivel local en el primer 2, no es en realidad una larga y famosa secuencia exacta al $X$ es una esfera llamado la EHP largo de la secuencia exacta. Se trata de la suspensión homomorphism, el Hopf mapa, y un "whitehead producto" mapa. Esto da lugar a la EHP espectral de la secuencia que, curiosamente, se inicia con el 2-local homotopy grupos de impar-dimensional esferas y calcula la 2-local homotopy grupos de esferas. Miller y Ravenel tienen un papel titulado "Marca Mahowald a trabajar en la homotopy grupos de esferas" que cubre parte de este material en detalle.

Otro método es decir: La "estable" homotopy grupos de $X$ son una aproximación de primer orden mediante el Freudenthal suspensión teorema que Andrea mencionado. No es entonces un "cuadrática" término de corrección que puede probar a utilizar para obtener una aproximación de la homotopy grupos que es correcto a aproximadamente tres veces la conectividad, y así sucesivamente. Estas en el tema de la Goodwillie cálculo.

Para una clasificación de espacio $K(G,1)$, ninguno de estos enfoques funcionan muy bien, porque la mayor homotopy grupos van a depender bastante intrincado en su propio grupo. Por ejemplo, $\pi_3$ de la suspensión de la clasificación de un espacio de libre grupo es el conjunto de simétrica de los elementos en $G_{\text{ab}}\otimes G_{\text{ab}}$ donde $G_{\text{ab}}$ es el abelianization de $G$, y para un grupo general que se vive en una secuencia exacta entre algo que implican tales simétrica de los elementos y el segundo grupo de homología de $G$. No conozco una forma cerrada para él, pero tal vez alguien más lo sabe mejor.

EDIT: déjame, al menos, ser precisos, hay una secuencia exacta $$\pi _4 (\Sigma BG)\rightarrow H_3 G \rightarrow (G_{\text{ab}}\otimes G_{\text{ab}})^{\mathbb Z/2} \rightarrow \pi_3 (\Sigma BG)\rightarrow H_2 G\rightarrow 0$$ Tenga en cuenta que para $R$ un anillo, un elemento de $(G_{\text{ab}}\otimes G_{\text{ab}})^{\mathbb Z/2}$ da lugar a una $R$valores de bilineal simétrica de emparejamiento en $\mathsf{Hom}(G_{\text{ab}},R)$.

EDITAR POR última VEZ: lo siento por los múltiples revisiones de conmutación de ida y vuelta entre homología y cohomology me dio errores. la secuencia exacta de arriba debe ser correcto ahora.

Answer 2

Creo que la situación racionalmente es menos desalentador que Tyler Lawson respuesta se indica. De hecho, cualquier conecta simplemente a la suspensión racionalmente es homotopy equivalente a una cuña de las esferas (esto es parte del Teorema 24.5, Felix-Halperin-Thomas), y para $\Sigma X$ a ser simplemente conectado basta con que $X$ estar conectado; en particular, esto se refiere al caso de una clasificación de espacio $X = BG$.

De ello se deduce que las dimensiones de la racionalidad homotopy grupos $\pi_i(\Sigma X, \mathbb{Q})$ están determinadas por los números de Betti $b_i = \dim H_i(X, \mathbb{Q})$. Para empezar, la suspensión de isomorfismo da $b_i = \dim H_{i+1}(\Sigma X, \mathbb{Q})$ ($i \ge 1$). Por lo tanto $\Sigma X$ es racionalmente homotopy equivalente a una cuña de las esferas donde $S^{i+1}$ aparece $b_i$ veces. Pero el racional homotopy grupos de una cuña de esferas es conocido: como una Mentira álgebra bajo el Samelson soporte,

$$\pi_{\bullet}(\Omega \Sigma X, \mathbb{Q}) \cong \pi_{\bullet+1}(\Sigma X, \mathbb{Q})$$

es el libre gradual Mentira álgebra en $b_i$ generadores de grado $i$, y es posible calcular su Poincaré de la serie. Más generalmente, si $V$ es graduado espacio vectorial (que aquí es $H_{\bullet}(X, \mathbb{Q})$), a continuación, graduada de Poincaré-Birkhoff-Witt,

$$T(V) \cong U(L(V)) \cong S(L(V))$$

donde $T$ denota el tensor de álgebra, $L$ denota la libre Mentira álgebra, $U$ denota el universal que envuelve el álgebra, y $S$ denota el álgebra simétrica. (Por cierto, $T(V)$ aquí es $H_{\bullet}(\Omega \Sigma X, \mathbb{Q})$.) La segunda isomorfismo es sólo un isomorfismo graduales de espacios vectoriales. Tomando de Poincaré de la serie da

$$\frac{1}{1 - \sum b_k t^k} = \prod \frac{(1 + t^{2k+1})^{\dim L_{2k+1}(V)}}{(1 - t^{2k})^{\dim L_{2k}(V)}}.$$

donde $\dim L_k(V)$ denota la dimensión de la $k^{th}$ clasificados de componentes de $L(V)$. Estos números están determinados por la $b_i$ un poco indirectamente de la siguiente manera. Si escribimos

$$\frac{1}{1 - \sum b_k t^k} = \exp \left( \sum_{k \ge 1} \frac{p_k}{k} t^k \right)$$

entonces

$$\dim L_k(V) = (-1)^k \frac{1}{k} \sum_{d | k} (-1)^{d/k} \mu(d) p_{d/k}.$$

Ejemplo. El caso más conocido de este tipo de cálculos para combinatorialists es cuando los números de Betti se concentran en algunos incluso grado $b_{2n} = b$ (por lo que estamos calculando el racional homotopy del bucle espacio de una cuña de $b$ copias de $S^{2n+1}$). A continuación, la serie de Poincaré es

$$\frac{1}{1 - b t^{2n}} = \exp \left( \sum_{k \ge 1} \frac{b^k}{k} t^{2n k} \right)$$

y llegamos

$$\dim L_{2n k}(V) = \frac{1}{k} \sum_{d | k} \mu(d) b^{d/k}.$$

Estos son, hasta la indización, el collar de polinomios.

Estas identidades pueden parecer complicado, pero dan bastante precisa asymptotics. Por ejemplo, si $1 - \sum b_k t^k$ es un polinomio y lo escribimos como $\prod (1 - r_k t)$, $r$ de mayor valor absoluto que ocurren en esta expresión controla el líder término de la asymptotics:

$$\dim L_k(V) \sim \frac{r^k}{k}.$$

Answer 3

Sobre algunos supuestos que tenemos por ejemplo $\pi_3 SK(G,1) \cong ker(\kappa)$, donde $\kappa : G \otimes G \to G'$ es el homomorfismo de conmutador y el grupo $G \otimes G$ es la Plaza del tensor nonnabelian.

Answer 4

Desde la suspensión de una $k$-esfera es un $k+1$-esfera, tiene una natural suspensión homomorphism $\pi_k(X)\rightarrow \pi_{k+1}(SX)$.

Freudenthal suspensión teorema dice que si $X$ $n-1$ conectado, $n\geq 2$, luego de la suspensión homomorphism en realidad es un isomorfismo para $k<2n-1$ y surjective para $k=2n-1$.

Esto se llama el rango estable. Esto implica que $\pi_{k+n}(S^n(X))$ eventualmente se estabiliza a un grupo, llamado el $k^{\text{th}}$ estable homotopy grupo de $X$. Aquí $S^n$ $n^{\text{th}}$ iterada de la suspensión.

Fuera de este rango, la relación no es tan clara, incluso cuando usted tome $X$ a ser una esfera (aunque sin duda hay algo de resultado desconocido para mí). Echa un vistazo a una tabla de baja dimensión homotopy grupos de esferas para ver este salvaje comportamiento.

Answer 5

No puedo dejar de mencionar un lindo aplicación de la suspensión de isomorfismo de la (co)homología combinado con Pioncare la dualidad de demostrar que para un pacto cerrado colector $M^n$, si la suspensión de la $\sum M$ es homotópica a una cerrada orientable colector, a continuación, $M$ es una homología de la esfera. Esta realidad, se trata de la homología de la suspensión, en lugar de homotopy grupos. Me disculpo si no ayudar a su pregunta.

En general, para un CW complejo de $M$, tenemos la suspensión isomorfismo $\tilde H_i(M)\cong \tilde H_{i+1}(\sum M)$, la reducción de la homología. Y $\tilde H^i(M)\cong \tilde H^{i+1} (\sum M)$ de reducción de cohomology. Ahora si tenemos la dualidad de Poincaré en ambos lados, tendríamos $\tilde H^i(M)\cong \tilde H^{i+1}(M)$. pasando de la reducción y no reducido (co)homología nos dice $M$ es una homología de la esfera.

Hay una relevante del ejercicio en "Elementos de la teoría de la homología" de Viktor Vasilʹevich Prasolov en P45.

Edit: $\tilde H^i(M)\cong \tilde H^{i+1}(M)$ para las dimensiones adecuadas. por ejemplo, usted puede comenzar la inducción de $H^{n-1}(M)=0$ y, a continuación, $H^{k-1}(M)=H^{k-2}(M)$ etc.