¿Cómo se utiliza la geometría diferencial en aplicaciones industriales inmediatas y cuáles son algunas fuentes para conocerla?

Question

Intuitivamente podría estar claro que la geometría diferencial es un tema muy aplicable en la ingeniería y la industria. Me gustaría saber cómo utilizan la geometría diferencial algunas industrias/empresas. Supongo que estarán trabajando en el modelado geométrico O en el análisis de datos geométricos. Pero agradecería si alguien puede dar algunos ejemplos explícitos, y también tal vez señalar algunos recursos para aprender más en esa dirección.

La única parte que conozco es que la geometría diferencial se utiliza en la investigación de imágenes médicas, visión por ordenador y gráficos por ordenador, donde ciertos modelos utilizan colectores específicos (colectores de forma, por ejemplo). Pero aparte de eso, no tengo ni idea de cómo se utilizan, por ejemplo, ciertos conceptos como el transporte paralelo o los mapas exponenciales en aplicaciones industriales directas. Además, si efectivamente se utilizan, ¿qué tipo de variedades riemannianas consideran?

Se agradecerá cualquier indicación o recurso.

Answer 1

Puede explorar el Instituto de Geometría en la Universidad Técnica de Graz haciendo hincapié en las superficies de forma libre en la arquitectura, y la Grupo de Geometría Industrial en la Universidad Tecnológica de Viena. Ambos se basan en un profundo conocimiento de la geometría diferencial.

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(Imagen de Sitio web de la TU Wien .)

El hermoso libro Geometría arquitectónica ofrece una buena visión general de la geometría diferencial aplicada al diseño de la arquitectura:

H. Pottmann, A. Asperl, M. Hofer y A. Kilian: Geometría arquitectónica . Bentley Institute Press (2007), 724 páginas, 2200 figuras en color, ISBN 978-1-934493-04-5. ( Enlace al libro .)

Answer 2

Algunos de los mejores algoritmos numéricos para resolver ecuaciones diferenciales parciales se basan en el complejo de Rham y de Koszul, generalizando y estabilizando en gran medida los métodos de elementos finitos. Este es el tipo de matemáticas que se inventó para la topología algebraica y la geometría diferencial y algebraica. Es un gran ejemplo de por qué las barreras entre las matemáticas puras y las aplicadas son contraproducentes.

Véase, por ejemplo Arnold Falk Winther, Acta Numerica (2006) p 1-155, doi: 10.1017/S0962492906210018.

o el artículo del Boletín, más legible:

Arnold, D., Falk, R., & Winther, R. (2010). Finite element exterior calculus: from Hodge theory to numerical stability. Bulletin of the American mathematical society, 47(2), 281-354. http://www.ams.org/bull/2010-47-02/S0273-0979-10-01278-4/S0273-0979-10-01278-4.pdf

Gran parte de esto es una generalización del trabajo sobre electrodinámica computacional de Bossavit (un ingeniero que trabajaba para Electricité de France) que se dio cuenta de la relación de las formas de Whitney en topología con los métodos de elementos finitos

Bossavit, A. (1998). Computational electromagnetism: variational formulations, complementarity, edge elements. Academic Press.

Answer 3

De los varios libros de Pogorelov sobre el tema, uno ha sido traducido al inglés:

Pogorelov, A. V. Curvaturas de las superficies y estabilidad de las conchas. Traducido del ruso por J. R. Schulenberger. Traducciones de Monografías Matemáticas, 72. American Mathematical Society, Providence, RI, 1988.

La estabilidad de los cascos es un tema importante en todo tipo de ingeniería (desde las cúpulas de los edificios hasta las botellas para bebidas). Pogorelov es quizás el más famoso de los muchos geómetras diferenciales que trabajaron en este tema.

EDITAR. El libro de M. Berger, Geometría, tiene muchas aplicaciones, con bellas imágenes.

Answer 4

La geometría diferencial es importante en la "visión computarizada", un área central de la CS/matemáticas aplicadas. La obra de Steve Zucker página web ofrece información y enlaces adicionales. En particular, mira: Geometría diferencial desde el punto de vista de Frenet: Detección de límites, estéreo, textura y color .

Answer 5

Una aplicación industrial del siglo XIX:

Chebyshev, para complementar sus ingresos como profesor universitario profesor universitario, firmó un contrato con un empresario textil, para un segundo trabajo en el que el objetivo era encontrar métodos de corte de uniformes militares (para los que había una gran demanda en ese momento) que minimizaran la pérdida de tejido. No está claro hasta qué punto Chebyshev ayudó a la profesión de diseñador de ropa, porque inmediatamente se interesó más en el aspecto matemático de la teoría. Esto le llevó a Chebyshev a escribir un artículo que lleva el título de la ponencia que y un libro que parece ser muy difícil de localizar. El artículo de Chebyshev, escrito en francés, se reproduce en el apéndice del en el apéndice del artículo. En concreto, Chebyshev desarrolló la teoría de lo que ahora se llama "redes de Chebyshev".

• De la revisión MR2850589 de Ghys, Étienne. "Sobre el corte de la ropa. Variación sobre un tema de Chebyshev". Educación matemática 57.1 (2011): 165-208.

Étienne Ghys presentó su ponencia en 2012 con el título "Cuando los matemáticos usan la geometría para cortar tela". La sesión se grabó y está disponible en: https://youtu.be/1EoUBwwl8-k