Ayuda a motivar estructuras de troncos

Question

Actualmente estoy leyendo una tesis que utiliza el registro de estructuras. Debo mencionar que este es mi primer encuentro con ellos, y la tesis (así como mi experiencia) es el esquema de la teoría (de hecho, la pila de la teoría) y por lo tanto el original geométricas motivaciones perdido en mí.

Aquí está mi manso comprensión. Para cualquier esquema, podemos dar un registro de la estructura. Esta es una gavilla , $M$, fibrado en monoids, en el etale sitio a través de un esquema de $S$; junto con un morfismos de poleas fibrado en moinoids $\alpha:M\rightarrow O_S$ que cuando se limita a $\alpha^{-1}(O_S^{\times})$ es un isomorfismo.

Esta $\alpha$ se llama el mapa exponencial, y para cualquier $t\in O_S(U)$ (para algunos $U$), una preimagen de ella a través de $\alpha$ se llama $log(t)$($\in M(U)$).

Tengo curiosidad por saber un par de cosas, y perplejo acerca de los demás. En primer lugar, en términos de la notación, seguramente no es coincidencia que estos son los llamados exponencial mapas y registro de estructuras. ¿Cuál es la geométrica motivación?

En segundo lugar, estos vienen en la tesis que estoy leyendo en el contexto de domar cubre. Estoy perplejo acerca de lo que, precisamente, registro de estructuras de contribuir. A mí me parece, en muy vaga (acorde con mi entendimiento), que el punto de registro de estructuras en este contexto, es que si se añade esta información extra para domar la cubre de alguna manera te ayuda a crear adecuada de los módulos de los espacios de las cubiertas.

En la parte superior de todo lo que yo también estoy confundido acerca de la función de mínima de registro de las estructuras en todo esto.

En conclusión, si se puede decir nada en absoluto acerca de las motivaciones de registro-estructuras en la configuración geométrica, o lo que es más importante en el contexto de domar cubre, me sería muy agradezco. La gran cantidad de notationally diferentes textos sobre el tema es lo que es difícil entender la esencia de lo que está pasando.

También, si usted tiene ejemplos que debo tener en mente a la hora de pensar en él, que sería lo ideal.

Answer 1

A veces, no es fácil elegir un compactification de un espacio de moduli, especialmente si los objetos que se están parametrizadas son complicadas - uno puede encontrar que una elección de los degenerados estructura es demasiado permisivo, y es parametrizadas por superfluo componentes. Una de las razones por las estructuras de tronco son útiles es que a menudo se producen de manera parsimoniosa degeneraciones de las estructuras (y por lo tanto, natural compactifications de módulos de espacios).

Una forma relativamente sencilla a posteriori ejemplo proviene de los módulos de la suave punta de curvas. A compactify, se puede generalizar suavidad para permitir que en la mayoría de los nodales singularidades (Deligne-Knudsen-Mumford), o puede agregar un (fs) estructura de registro, y considerar los módulos problema de registro-suave integral señaló curvas (F. Kato). Más generalmente, usted puede compactify los módulos de suave trenzado curvas mediante trenzado estables de curvas (Abramovich-Vistoli), o retorcidas curvas de registro (Olsson). En el caso de las curvas de registro, uno encuentra que un cierto "equilibrio" condición aparece automáticamente, y excluye las curvas cuyos nodos no tienen la coincidencia de orbifold estructura.

Nunca he visto el mapa de $\alpha$ conoce por nombres como los de logaritmo y exponencial, pero la noción de logaritmo es apropiado cuando se considera diferenciales. Si usted toma los afín a la línea natural con la tabla de $\mathbb{N} \mapsto \mathbb{C}[\mathbb{N}] = \mathbb{C}[t]$, la gavilla de registro de los diferenciales contiene una sección de la forma $\frac{dt}{t} = d\log t$. Del mismo modo, si usted tiene un registro-curva suave, su gavilla de la relación de los diferenciales es la dualizing gavilla, que es de ordinario diferenciales en la (esquemáticamente) liso locus, y, en la mayoría de los registro de los polos en los nodos, donde los residuos en las dos piezas de suma cero.

Me encontré con la introducción de Kato-Usui (Clasificación de los espacios de degenerar mixto estructuras de Hodge) lugar de inspiración.

Answer 2

Con respecto a domar cubre: Para el registro de esquemas de allí son las nociones de registro-étale de registro y suave de morfismos, que se comportan de manera muy similar a la noción clásica de étaleness y suavidad.

Si $X\subset \overline{X}$ e $Y\subset \overline{Y}$ están abiertas las inmersiones de liso $k$-planes, para, digamos, $k$ un campo, de tal manera que los complementos de $X$ e $Y$ son estrictas normal cruces de divisores, a continuación, $\overline{X}$ e $\overline{Y}$ obtener canónica (fino, saturado) registro de estructuras. Permite llamar al registro de esquemas de $X^{\log}$ e $Y^{\log}$. Si $f:X\rightarrow Y$ es finita étale de morfismos, que se extiende a un número finito de morfismos $\bar{f}:\overline{X}\rightarrow \overline{Y}$,, a continuación, $f$ induce una de morfismos de registro de esquemas de $f^{\log}:X^{\log}\rightarrow Y^{\log}$, e $f^{\log}$ es de registro-étale si y sólo si $\bar{f}$ es un domar a cubrir en el sentido usual de la palabra. Por lo que "se comporta" como un étale cubriendo en la categoría de registro de esquemas. Por ejemplo, se puede desarrollar una teoría de la log-fundamengal grupos y así sucesivamente. Una muy buena referencia de esta es Jakob Stix tesis, que se puede encontrar en su página web.

De hecho log-étaleness es más general: Para $f^{\log}$ a ser el registro-étale, $\bar{f}$ no tiene que ser un número finito de morfismos; algunos no-finito son permitidos, por ejemplo los llamados "log-imágenes ampliadas". Como tengo entendido que juegan un papel crucial en el desarrollo de la sesión-étale cohomology. Una buena referencia para esto y mucho más es

Illusie, Luc. Una visión general de la obra de K. Fujiwara, K. Kato, y C. Nakayama logarítmicas étale cohomology. (Resumen en inglés). Cohomologies p-adiques et aplicaciones arithmétiques, II. Astérisque Nº 279 (2002), 271-322.

Answer 3

Yo creo que la gente se refiere a $\alpha$ como la exponencial mapa exactamente a causa de la "gran ejemplo (I)" en Pottharst notas. También, un pequeño punto, para cualquier esquema que nos puede dar muchas estructuras de tronco. Por ejemplo, además de la principal ejemplo de un registro de str asociados a un circuito cerrado de inmersión, el más simple de los ejemplos se $M = \mathcal O_X^*$ e $M = \mathcal O_X.$ me encontrado K. Kato papel de "Logarítmica estructuras de Fontaine-Illusie" para ser una buena introducción.

Logarítmica estructuras de Fontaine-Illusie. Algebraicas análisis, geometría y teoría de números (Baltimore, MD, 1988), 191-224, Johns Hopkins Univ. Press, Baltimore, MD, 1989.