Es bastante fácil hacer esto para grupos finitos. De hecho, el funtor $R \mapsto R[G]$ es naturalmente representable por un esquema de anillos: el funtor de conjunto subyacente es representado por $\mathbb A^n$ donde $n = |G|$, y la estructura de anillo proviene del funtor de puntos $R \mapsto R[G]$. Escriba $Y$ para este esquema de anillos (digamos sobre $\operatorname{Spec} \mathbb Z$).
Ahora el grupo unitario se puede construir como el subconjunto cerrado $V \subseteq Y \times Y$ de pares $(x, y)$ tales que $xy = 1$. Es cerrado porque es la pullback del diagrama $$\begin{array}{ccc}V & \to & Y \times Y\\\downarrow & & \downarrow \\ 1 & \hookrightarrow & Y\end{array},$$ donde el mapa vertical derecho es el morfismo de multiplicación en $Y$. Esto muestra que $R \mapsto R[G]^\times$ es representable. Naturalmente se convierte en un esquema de grupo, nuevamente desde el punto de vista de los puntos del funtor. $\square$
En el caso infinito, esta construcción no funciona, porque el funtor $R \mapsto R[G]$ no está representado por $\mathbb A^G$ (este representa el producto directo infinito $R \mapsto R^G$, no la suma directa $R \mapsto R^{(G)}$). No tengo idea de si el funtor $R \mapsto R^{(G)}$ (equivalentemente, el haz $\mathcal O^{(G)}$) está representado, pero creo que puede que no lo esté.
Por otro lado, en el ejemplo que das de $G = \mathbb Z$, el funtor en campos $$K \mapsto K[x,x^{-1}]^\times = K^\times \times \mathbb Z$$ está representado por $\coprod_{i \in \mathbb Z} \mathbb G_m$, pero esto no representa al funtor $R \mapsto R[x,x^{-1}]^\times$ en anillos por varias razones. De hecho, ya no es cierto que $R[x,x^{-1}]^\times = R^\times \times \mathbb Z$ si $R$ no es reducido, ni representa $\coprod \mathbb G_m$ a $R \mapsto R^\times \times \mathbb Z$ si $\operatorname{Spec} R$ está desconectado. Estos problemas no se anulan, como ya se puede ver tomando $R = k[\varepsilon]/(\varepsilon^2)$.
