Es bastante fácil de hacer esto para grupos finitos. De hecho, el functor $R \mapsto R[G]$ es, naturalmente, representable por un anillo esquema: el conjunto subyacente functor es representado por $\mathbb A^n$ donde $n = |G|$, y la estructura de anillo viene desde el functor de puntos de $R \mapsto R[G]$. Escribir $Y$ para este anillo esquema (con más de $\operatorname{Spec} \mathbb Z$).
Ahora el grupo de la unidad puede ser construido como el subconjunto cerrado $V \subseteq Y \times Y$ de los pares de $(x,y)$ tal que $xy = 1$. Está cerrado, ya que es el retroceso del diagrama
$$\begin{array}{ccc}V & \to & Y \times Y\\\downarrow & & \downarrow \\ 1 & \hookrightarrow & Y\end{array},$$
donde el vertical derecho del mapa es la multiplicación de morfismos en $Y$. Esto demuestra que $R \mapsto R[G]^\times$ es representable. Esto, naturalmente, se convierte en un esquema de grupo, de nuevo por el functor de puntos punto de vista. $\square$
En el caso infinito, esta construcción no funciona, porque el functor $R \mapsto R[G]$ no está representado por $\mathbb A^G$ (este último representa el infinito producto directo de $R \mapsto R^G$, no la suma directa de $R \mapsto R^{(G)}$). No tengo idea de si el functor $R \mapsto R^{(G)}$ (lo que es equivalente, la gavilla $\mathcal O^{(G)}$) es representable, pero creo que no podría ser.
Por otro lado, en el ejemplo que usted da de $G = \mathbb Z$, el functor en los campos de
$$K \mapsto K[x,x^{-1}]^\times = K^\times \times \mathbb Z$$
es representable por $\coprod_{i \in \mathbb Z} \mathbb G_m$, pero esto no representa el functor $R \mapsto R[x,x^{-1}]^\times$ en los anillos por múltiples razones. De hecho, no es cierto que $R[x,x^{-1}]^\times = R^\times \times \mathbb Z$ si $R$ no es reducido, ni $\coprod \mathbb G_m$ representa a $R \mapsto R^\times \times \mathbb Z$ si $\operatorname{Spec} R$ está desconectado. Estos problemas no se cancelan, como puede verse por tomar $R = k[\varepsilon]/(\varepsilon^2)$.
