Explicación intuitiva del uso de las factorizaciones matriciales en la teoría de los nudos

Question

¡Hola!

He leído partes del artículo de Khovanov/Rozansky sobre la categorización del polinomio HOMFLY usando Factorizaciones Matriciales. Técnicamente, puedo seguirlo (aunque me parece que faltan bastantes detalles y es tedioso rellenarlos) - intuitivamente, sin embargo, no tengo ni idea de por qué uno es llevado a considerar las factorizaciones matriciales cuando estudia la teoría de nudos, en particular los invariantes RT obtenidos de interpretar los enredos de color como morfismos entre módulos sobre el grupo cuántico. Hasta ahora, me parece bastante misterioso por qué Khovanov y Rozansky eligen potenciales particulares como $x_1^n+x_2^n-x_3^n-x_4^n$ en su construcción, y por qué hay que esperar que al final obtengamos algo invariante bajo los movimientos de Reidemeister.

¿Puede alguien explicarme la motivación de esta construcción? ¿Cuál es la relación entre el morfismo de módulos sobre el grupo cuántico que representa un borde ancho y la factorización matricial asociada a él?

Gracias.

Answer 1

Se espera que muchas homologías de nudos tengan interpretaciones teóricas de Floer. Sin embargo, en la teoría de Floer a menudo la cadena "compleja" $CF(L_0,L_1)$ no es un complejo sino sino un bimódulo a-infty sobre un par de álgebras a-infty curvas; las factorizaciones matriciales son más o menos un caso especial de éstas, donde la curvatura de las álgebras ainfty es un múltiplo de la identidad. Bajo algunas suposiciones agradables (monótonas o exactas) $CF(L,L)$ tiene una diferencial que es cuadrada a cero, ya que las curvaturas de las álgebras a-infty en ambos lados ocurren con signo opuesto y así se cancelan si los Lagrangianos son los mismos (o relacionados por un simplectomorfismo). Pero incluso en las situaciones monótonas o exactas $CF(L_0,L_1)$ puede tener un diferencial que da una factorización matricial. Ahora Manolescu ha propuesto una interpretación simpléctica de Khovanov-Rozansky para los enlaces, que parece $CF(L,\beta(L))$ donde \beta es una presentación trenzada del enlace, pero hasta ahora no parece haber una propuesta para los gráficos. Probablemente para los grafos el invariante sería el tipo de homotopía de $CF(L_0,L_1)$ (o algún grupo de cadenas de Floer más general) que bajo supuestos de monotonicidad adecuados será una factorización matricial. Nótese que Kamnitzer tiene una propuesta para una versión teórica de Floer para G arbitrario; sería interesante ver si se puede extender esta propuesta al caso de los grafos, que probablemente se necesitaría para un triángulo exacto.