Aplicaciones globales de variedades propias

Question

Un domingo por la pregunta para los especialistas de eigenverieties:

En su importante papel de "la eigencurve", Coleman y Mazur globalizado de la construcción anterior de Coleman de las familias, la construcción de un hermoso homónima rígido analítica del espacio que parametrizes todos los sistemas de Hecke autovalores de finito de pendiente overconvergent las formas modulares. Desde entonces muchas de las generalizaciones de esta construcción se han realizado (el "eigenvarieties") que cada vez aparecen como globalizaciones de local de construcciones de la generalización de Coleman familias. Este proceso de globalización ha sido incluso axiomatized por Ratonero ("el eigenvariety de la máquina").

Sin embargo, me pregunto:

¿Cuáles son los beneficios de trabajar con un objeto global (que es considerablemente más difícil de construir y negociar con él) en vez de sólo la objetos locales con las que está construido (las familias de Coleman y sus generalizaciones) ?

Por supuesto, tener un mundial, canónica, el objeto es mucho más satisfactorio, sobre la estética motivos. Como matemático formado después de Grothendieck de la revolución, esta sola razón sería para mí suficiente para consentir el esfuerzo de la construcción global eigenvarieties. Pero mi pregunta es debe entenderse un poco más específicamente:

¿Cuáles son las aplicaciones o solicitudes previstas (para nuestro conocimiento de la aritmética de automorphic formas, representaciones de Galois, L-funciones, etc.) de la existencia global y la geometría de la eigenverities que ya no son consecuencias de la existencia y de la geometría de sus piezas?

Por supuesto, ya hay una cantidad enorme, aún más rápido crecimiento, de la aritmética información obtenida de los locales piezas de eigenvarieties. Pero lo que para la estructura global? Permítanme mencionar el único que sabe: la existencia global de la eigencurve (decir) es necesario ser capaz de unir a cualquier overconvergent finito pendiente de forma modular un Galois representación. Con Coleman familias en paz, hemos sido capaces de construir esas representaciones sólo para estas formas de tener un peso lo suficientemente cerca de la p-adically a un entero no negativo (por ejemplo, el uno con pesos negativos). Sin embargo, creo que esta aplicación no muy convincente, como ¿por qué nos importa overconvergent forma con el peso lejos de los números enteros, excepto por la "carne" de la eigencurve?

Entonces, ¿qué otras aplicaciones tienen en mente?

(editado para una errata)

Answer 1

Esto es algo que he dicho en privado por un tiempo, y ahora tiene suficientes ingredientes escrito (conjuntamente con Liang Xiao) para reclamar en la web en algún lugar: la validez de la paridad conjetura es constante en $p$-ádico de la analítica de las familias. (Multa de impresión: la familia debe ser simpléctica auto-dual, y estar equipados con una especie de Panchishkin de la triangulación, pero eso es todo.) Ahora que la triangulación de toda la eigencurve ha sido construido, y la conjetura de que es conocido en el peso de dos por cualquier número de autores, se desprende que la paridad conjetura se cumple para cualquier finito de la pendiente de una forma acostado en una componente irreducible de la eigencurve que admite un clásico de peso de dos puntos. Por lo tanto, la paridad de la conjetura para todos finito de la pendiente de las formas reduce a la afirmación de que el Buitre de la observación se ha señalado en el $p=2,N=1$ mantiene en general (aplicar Coleman classicality el teorema de la baja de la pendiente, el peso de dos puntos cerca de la frontera), que es una cuestión global de la geometría de la eigencurve.

Answer 2

En la p. 4 de Kisin del papel "Overconvergent las formas modulares y la Fontaine-Mazur conjetura", explica la posibilidad de demostrar que la modularidad de elevación de teoremas a través de "continuación analítica a lo largo de la eigencurve". Esto parece requerir un punto de vista global, ya que se basa en el entendimiento (al menos!) los componentes conectados de la global eigencurve.

También, Emerton completado cohomology es un objeto global, en el sentido de que está pidiendo: aplicar localmente analítica Jacquet módulo functor para el local de la analítica de vectores en $\widehat{H}^1$ da toda la (reducida) eigencurve para $\mathrm{GL}_2/\mathbf{Q}$, sin pegamento necesario! (Espero que el Profesor Emerton corregirá cualquier información falsa que he hecho de su obra, si lee esto).