¿Existe una prueba de la desigualdad de Selberg 3.2?

Question

Un conocido de la desigualdad de Montgomery y Vaughan (generalizando el resultado de Hilbert) los estados que

$$ \left |\sum_{r \neq s} \frac{w_{r} \overline{w_{s}} }{\lambda_r - \lambda_s} \right| \leq \pi \delta^{-1} \sum_{r} |w_{r}|^2$$

donde $\{\lambda_{r}\}$ es un aumento de la secuencia de $\delta$-separa los números reales ($|\lambda_{r+1} - \lambda_{r}| \geq \delta$) y $\{w_{r}\}$ son números complejos. La constante $\pi$ es conocido por ser fuerte. Hay una más "ponderados" la generalización de esta desigualdad (también debido a Montgomery y Vaughan) que los estados

$$ \left |\sum_{r \neq s} \frac{w_{r} \overline{w_{s}} }{\lambda_r - \lambda_s} \right| \leq \frac{3}{2} \pi \sum_{r} \delta_{r}^{-1}|w_{r}|^2$$

donde $\delta_{r}>0$ es un número real tal que $|\lambda_{r}-\lambda_{s}| \geq \delta_{r}$ cualquier $s \neq r$ y el resto de la notación es la misma que la anterior.

Aquí la constante de $\frac{3}{2}\pi$ no es el óptimo, de hecho, se cree que el $\frac{3}{2} \pi$ puede ser sustituido por $\pi$. Demostrando esto, sin embargo, ha permanecido abierto durante más de 40 años. Refinación de la constante tendría un número de aplicaciones para tamiz de la teoría (de hecho esta desigualdad, incluso tiene un papel menor en el actual proyecto Polymath para refinar Zhang de la brecha primer teorema). Este artículo de Montgomery es un buen lugar para leer sobre el papel de la desigualdad en la teoría de números (como la de 1978, al menos).

Ha habido una serie de mejoras para la constante a lo largo de los años. En sus 1978 artículo Montgomery estados que Selberg tiene una inédita prueba que muestre $\frac{3}{2} \pi \approx 4.71$ puede ser sustituido por $3.2$. Curiosamente, en 1984, E. Preissmann publicado un (18 página!) prueba que demuestra que la desigualdad se cumple con la constante $\frac{4}{3}\pi \approx 4.18$ (que es inferior a la reclamada por Selberg). Además, me han leído que hay una prueba de la desigualdad, con una constante $\sqrt{22} \approx 4.69$ dado por Jörg Brüdern (en Einführung in die analytische Zahlentheorie, Springer Verlag, 1995), lo que sería aún inferior a la de Preissmann del resultado. Esto me lleva a preguntarme:

¿Existe una copia de Selberg de la prueba?

Por supuesto, me interesaría saber de los resultados relacionados con el problema más allá de los mencionados anteriormente.

Answer 1

Creo que es muy poco probable que una prueba de que existe. Esto está muy lejos de ser definitiva, pero que suele ser el caso con este tipo de necesidad respuestas. Mi razonamiento es:

• Fue un prolífico escritor (después de la segunda guerra mundial, de todos modos). Sus collected papers suman más de 900 páginas. Como original a un matemático como Selberg fue, no me puedo imaginar lo despedir este resultado como "no importante suficientes para publicar".

• La encuesta es de 1978, por lo que Selberg (profesor en la universidad de Princeton hasta 1987) tuvo tiempo más que suficiente para publicar una prueba pertinente.

• Finalmente, como Lucía menciona en los comentarios, una gran cantidad de trabajo ha ido en la catalogación y publicación de su investigación, ya que se retiró. La primera edición de la Springer volúmenes de data de 1989 y 1991, la última de 2014. Springer es conocido que a veces incluyen cosas como los papeles inéditos de las letras es su colección de Papeles de la serie, así que si la prueba nunca fue escrita hacia abajo, debería haber aparecido por ahora.