Es mi pregunta, cuando yo estaba en la Escuela preparatoria. Hasta ahora, no tengo idea acerca de la explicación correcta. Acabo de aceptar por la fe :D
Aquí está la pregunta:
Si el símbolo $\Delta x \to 0$ no quiere decir $\Delta x =0$, ¿cómo pueden los puntos de $A$ $B$ superpuesta que a su vez, ¿cómo puede la línea que une la $A$ $B$ se $C$, la línea tangente a la curva de $y=f(x)$ a punto de $A$?
Gracias de antemano.
Básicamente, lo que han puesto el dedo en la original es la dificultad con infinitesimals, y la base sobre la cual el Obispo Berkeley hizo alguno de sus famosos objeciones (mente, Berkeley no se preocupan realmente de los fundamentos lógicos de Cálculo; él estaba participando en un debate teológico en el tiempo1): si infinitesimals no son cero, entonces lo que tenemos no es una tangente, pero una secante, porque la línea que toca a la curva en dos puntos distintos; pero si los dos puntos son los mismos, entonces no definen una tangente porque no se puede determinar una línea con un solo punto.
La respuesta es que cuando hablamos de límites, estamos hablando de lo que las cantidades que se aproxima, no lo que las cantidades son. El punto de $B$ nunca "se superponen" con $A$, sólo enfoques $A$; la línea entre el $A$ $B$ nunca "se convierte en" la tangente (que en su diagrama es $C$), pero en su vertiente enfoques de la decantación de $c$. Estos "enfoques" tiene un preciso significado (hecho formal por Weierstrass).
En primer lugar, ¿qué significa decir que los valores de una función $g(x)$ "enfoque" el valor de $L$ $x$ enfoques $a$? Esto significa que usted puede tomar todos los valores de $g(x)$ ser arbitrariamente cerca de $L$ que $x$ es "lo suficientemente cerca" a $a$. Si especifica una estrecha banda horizontal de todo el valor de $y=L$, mediante la especificación de una estrecha banda vertical de todo el valor de $a$ podemos garantizar que la gráfica de $y=g(x)$ para los valores de $x$ dentro de la estrecha banda vertical será necesariamente se encuentran dentro de la línea horizontal.
La razón de esto es sensato es que si los valores de $g(x)$ enfoque de algunos otros número $M$ así, a continuación, mediante la especificación de una banda de alrededor de $L$, que es menor que la distancia de $M$ $L$va a ejecutar siempre en problemas: la gráfica de $y=g(x)$ siempre con partes fuera de esta banda, debido a que $M$ está fuera de la banda y también acercarse a $M$.
Formalmente, se le dice de esta manera: el límite de $g(x)$ $x$ enfoques $a$$L$, lo que está escrito: $$\lim_{x\to a}g(x) = L$$ si y sólo si para cada a $\epsilon\gt 0$ existe un $\delta\gt 0$ que si $0\lt |x-a|\lt \delta$, luego $|f(x)-L|\lt \epsilon$; $\epsilon$ es el ancho de la banda horizontal alrededor de $L$ es, $\delta$ es tan delgada que usted necesita para hacer la vertical de la banda alrededor de $a$ necesita para asegurarse de que el gráfico está completamente dentro del rectángulo.
Lo que la imagen sugiere es que como $\Delta x$ enfoques $0$, la pendiente de la línea que une la $A$ $B$ debe acercarse a la pendiente de la tangente en a $a$; sin embargo, la línea que une la $A$ $B$ nunca realmente "se convierte en" la tangente $C$, y el punto de $B$ nunca realmente "se convierte en" el punto de $A$. Sólo están acercando.
Ahora bien, la línea que une la $A$ $B$ tienen una pendiente que realmente se aproxima a la pendiente de la tangente? La clave es que podemos caracterizar a la tangente de manera algebraica: la tangente es la única línea que ofrece la mejor aproximación a $y=f(x)$ cerca del punto de $x_0$, donde por "mejor aproximación", nos referimos a uno en el que el error relativo se aproxima a cero. Que es: si tenemos una línea de $mx+b$ que pasa a través de $(x_0,f(x_0))$, entonces podemos preguntar por el "error relativo" en el uso de la aproximación de $mx+b$ en lugar de $f(x)$: $$\frac{f(x) - (mx+b)}{x-x_0}.$$ La tangente es la única línea a través de $(x_0,f(x_0))$ para que el error relativo de los enfoques $0$ $x$ enfoques $x_0$ (si es que existe en absoluto). Desde $y=mx+b$ pasa a través de $(x_0,f(x_0))$ si y sólo si $f(x_0) = mx_0 + b$,$b= f(x_0)-mx_0$; así tenemos que el error relativo será $$\frac{f(x) - mx - f(x_0)+mx_0}{x-x_0} = \frac{f(x)-f(x_0) - m(x-x_0)}{x-x_0} = \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} - m.$$ Así que si queremos que el error relativo para acercarse a $0$, entonces tenemos $\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$ para acercarse a $m$; es decir, la pendiente de la tangente debe ser lo que la cantidad de los números $$\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$$ se acercan como $x$ enfoques $x_0$ (si están acercando a cualquier número particular). Establecimiento $\Delta x = x-x_0$, por lo que el $x = x_0+\Delta x$, por encima de la fracción es el mismo $$\frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}.$$ Y $x$ enfoques $x_0$ si y sólo si $\Delta x$ enfoques $0$. Así que la pendiente de la tangente debe ser lo que la cantidad de esta fracción enfoques $\Delta x$ enfoques $0$; es decir, la pendiente de la tangente en a $x_0$ $m$ si y sólo si $$ \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x} = m.$$ Convirtiendo esta afirmación en una imagen que da, precisamente, la imagen que tienen.
En caso de que alguien esté interesado: muchas personas consideraban la mecánica Newtoniana y su consecuente "clockwork universo" como un ataque directo a la noción Cristiana de una deidad que estaba directamente involucrado en y la modificación de su creación, y también en la noción de libre albedrío. Algunos deístas fueron, de hecho, el uso de la nueva física como evidencia en favor de la deísta de Dios, que creó el universo, establece movimiento, pero no de participar activamente en ella, en contraste con el teísta de la deidad. Al atacar el fundamento matemático de la nueva física, Berkeley fue la defensa de las nociones de la voluntad libre y activa de la deidad. Si usted lee Augustus de Morgan, es Un Presupuesto de Paradojas, él revisa muchos panfletos y folletos escritos durante los años que el ataque de Newton y el Cálculo, ya que ven a este último como un ataque a la religión. La "moralidad" de los argumentos planteados en contra de Cálculo son extrañamente similares (cuando no francamente idénticas) a las planteadas en contra de Darwin y la Teoría de la Evolución en los días posteriores.
$A$ $B$ no literalmente, se superponen, y la línea de $C$ no se obtiene, literalmente, como una línea que une puntos de $A$ $B$ sobre la curva. El diagrama está diseñado para motivar a la verosimilitud del hecho de que, como $B$ consigue "lo suficientemente cerca" (pero no igual) a $A$, la línea que conecta $A$ $B$ se "arbitrariamente cerca" de la recta tangente a $C$ a la curva en el punto de $A$. Esto es consistente con la idea de que $\Delta x$ "$0$", pero nunca es igual a $0$.
Más precisamente, la pendiente de la línea de $C$ es el derivado de la $f$ a $x_0$, $f'(x_0)$, definido por
$$f'(x_0)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}.$$
De manera más informal de nuevo, este límite significa que usted puede conseguir "arbitrariamente cerca de" a $f'(x_0)$ tomando $\Delta x$ "suficientemente pequeño" (pero no $0$) de la diferencia cociente $\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$, que es la pendiente de la línea que conecta $A$ $B$en el diagrama.
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