Resultados recientes y elementales en geometría algebraica

Question

El próximo semestre impartiré una clase de introducción a la geometría algebraica para un pequeño grupo de estudiantes. En las dos últimas semanas, espero que cada estudiante haga una presentación de una hora. El enfoque habitual podría ser sugerir algunas bonitas historias clásicas (por ejemplo, cosas en este hilo ) y que cada alumno elija uno.

Espero convencer a la clase de que la geometría algebraica, incluso tal y como se practica en la actualidad, no es un campo tan aterrador como se les ha hecho creer - que todavía hay algunos frutos elementales que se pueden recoger. Para ello, me gustaría mezclar algunos resultados más recientes, por ejemplo, artículos aparecidos en el último año o dos. Estoy buscando posibles temas.

Pregunta: ¿Puede alguien sugerir artículos recientes sobre (1) los enunciados son atractivos para los novatos (2) los enunciados pueden ser entendidos por un estudiante de grado que esté familiarizado con el material del libro de Shafarevich (sin esquemas, sin categorías derivadas, sin variedades tóricas, sin espacios de moduli... se entiende la idea) (3) el esquema de las pruebas podría ser entendido y presentado por dichos estudiantes.

No tienen por qué ser necesariamente artículos innovadores en revistas de gran tirada. Los resultados menores están bien, siempre que parezcan interesantes para los no expertos. Un rápido vistazo sugiere que el número medio de artículos adecuados por día en math.AG es 0.

¿Alguna sugerencia? La autopromoción es bienvenida.

Answer 1

Este trabajo demostró que dos resultados de clasificación de hace un siglo, cada uno de ellos de cosas muy poco comprensibles, eran iguales; ¡bastante sorprendente!

http://arxiv.org/abs/1308.0751

"Sumas de cuadrados y variedades de grado mínimo" por Grigoriy Blekherman, Greg Smith y Mauricio Velasco

Sea X una subvariedad proyectiva real no degenerada tal que su conjunto de puntos reales es denso de Zariski. Demostramos que toda forma cuadrática real que es no negativa en X es una suma de cuadrados de formas lineales si y sólo si X es una variedad de grado mínimo.

Answer 2

Si te gusta la característica p, la caracterización de Pardini de las curvas planas suaves cuyos puntos son inflexiones (Compositio 60 (1986) 3-17) es muy bonita y sólo utiliza el teorema de Bezout, básicamente. Bono #1: fue un tesi di laurea (equivalente italiano a una tesis de grado). Bonus #2: el autor está en MO https://mathoverflow.net/users/10610/rita

Answer 3

Sé que has dicho que no hay espacios de moduli, pero este documento sería genial para un proyecto de lectura. Los espacios de moduli en cuestión no son complicados de construir, y las pruebas son accesibles con orientación.

http://arxiv.org/abs/0901.1783

¡Salud!

Answer 4

No hay más geometría algebraica que la comprensión de las ecuaciones que definen una variedad (afín o proyectiva), y todavía hay toneladas de cuestiones que se estudian activamente. Por ejemplo:

1) Busca en Google "set-theoretic complete intersections". De paso, busca también "curvas monomiales".

2) "Variedades secantes". Éstas tienen incluso conexiones con la estadística, etc., busque la "descomposición tensorial" y todo eso. Incluso las dimensiones de estos objetos son un problema no trivial, según tengo entendido.

3) El álgebra conmutativa suele tener bastantes trabajos accesibles, y muchos problemas allí tienen fuertes vínculos con la geometría algebraica. Así que visita math.AC. Buena suerte.