Creo que de las mónadas en términos de teorías algebraicas.
Las mónadas son sustancialmente más general de esta intuición sugiere! Aquí es una mejor intuición: las mónadas son categorified idempotents.
El punto de idempotents (actuando en, digamos, un "módulo") para recoger agradable subobjetos: subobjetos que son tan bonitas que son simultáneamente subobjetos y el cociente de los objetos (es decir, directa sumandos de módulos), de manera compatible. Más formalmente, cada idempotente $m : X \to X$ quiere convertirse en un par de un mapa de $f : X \to Y$ y un mapa de la $g : Y \to X$ tal que $g \circ f = m$ e $f \circ g = \text{id}_Y$. Del mismo modo, el punto de las mónadas es escoger agradable categorías que simultáneamente mapa dentro y fuera de una categoría, de manera compatible (a través de la contigüidad). Más formalmente, cada mónada $M : C \to C$ quiere convertirse en un par de un functor $F : C \to D$ y un functor $G : D \to C$ tal que $F$ e $G$ son adjuntos y $G \circ F \cong M$.
Esta analogía es bastante robusto: por ejemplo, el análogo de tomar los puntos fijos de un idempotente es tomar la categoría de álgebras de una mónada. Y el análogo de la contigüidad de ser monádico es un submódulo de ser un sumando directo.
El descenso por el otro, es supuestamente geométrico de la naturaleza; un formalismo que generaliza familiar encolado a través de subconjuntos de a lo más general sin una topología espacial. No me puedo imaginar cómo o por qué estos dos conceptos deben estar relacionados.
Aquí es un simple juguete modelo. Deje $f : X \to Y$ ser un mapa de conjuntos y deje $\text{Sh}(X)$, por lo concreto, el functor la asignación de un conjunto de $X$ la categoría de las poleas de los conjuntos en $X$, lo que significa la categoría de tareas, para cada una de las $x \in X$, de un conjunto $A_x$. Hay un pullback functor
$$f^{\ast} : \text{Sh}(Y) \to \text{Sh}(X).$$
Tiene derecho adjoint $f_{\ast} : \text{Sh}(X) \to \text{Sh}(Y)$ dado por tomar fiberwise productos: es decir, si $A$ es una gavilla por primicia de los conjuntos en $X$, luego
$$f_{\ast}(A)_y = \prod_{f(x) = y} A_x.$$
(También tiene un adjunto a la izquierda que nos va a ignorar.) Esta contigüidad induce un comonad $f^{\ast} f_{\ast} : \text{Sh}(X) \to \text{Sh}(X)$ el envío de una gavilla $A$ de los conjuntos en $X$ a la gavilla
$$f^{\ast} f_{\ast}(A)_x = \prod_{f(x') = f(x)} A_{x'}.$$
Ahora, ¿qué se debe el descenso decir en esta situación? $f$ debería ser de ascendencia iff es surjective, y descenso debe intuitivamente decir que una gavilla en $X$ desciende a una gavilla en $Y$ fib para todos los $y \in Y$, todos los conjuntos de $A_x, f(x) = y$ son canónicamente identificado. Esto refleja el hecho de que $f$ es surjective iff $Y$ se obtiene de $X$ por quotienting por la relación de equivalencia $x \sim x' \Leftrightarrow f(x) = f(x')$. (Que a su vez dice que surjections en $\text{Set}$ son eficaces epimorphisms.)
Este es codificada por el comonad anterior como sigue. Un coalgebra por los de arriba comonad es una gavilla $A$ a $X$, junto con un mapa $A \to f^{\ast} f_{\ast}(A)$ satisfacer algunas de las compatibilidades. ¿Qué tal un mapa parece? Stalkwise se ve como un mapa
$$A_x \to \prod_{f(x') = f(x)} A_{x'}$$
y en este mapa va a terminar la codificación de un montón de isomorphisms $A_x \cong A_{x'}$. Estos isomorphisms debe satisfacer una cocycle condición que está codificada por el coalgebra compatibilidades.
El decategorified versión de esta historia es que una verdadera función con valores de $A : X \to \mathbb{R}$ desciende a una función $Y \to \mathbb{R}$ fib $A_x = A_{x'}$ para todos los $x, x'$ tal que $f(x) = f(x')$. Por otra parte, si $f$ ha finito fibras, podemos elegir que las funciones de estos son como los puntos fijos de la idempotente
$$m(A)_x = \frac{1}{|f^{-1}(f(x))|} \sum_{f(x') = f(x)} A_{x'}$$
actúa sobre el espacio vectorial de las funciones de $X \to \mathbb{R}$.
Un caso más interesante es el caso de que $f : X \to X/G$ es un Galois cubierta con grupo de Galois $G$. En este caso el descenso va a decir que $\text{Sh}(X/G)$ es la categoría de homotopy puntos fijos $\text{Sh}(X)^G$ por la acción de la $G$ a $\text{Sh}(X)$, y la manera en que la comonad $f^{\ast} f_{\ast}$ codifica este hecho es un categorification el hecho de que si $G$ es un grupo finito que actúa sobre un espacio vectorial $V$ (sobre un campo de carácter adecuado), el subespacio $V^G$ de puntos fijos es un sumando directo signado por el idempotente $\frac{1}{|G|} \sum_{g \in G} g$. Esta es una forma geométrica de Galois de descenso.
