Un camino hacia la teoría interuniversal de Teichmuller

Question

¿Cuál sería el camino de estudio para que alguien en el nivel de la Geometría Algebraica de Hartshorne entienda y estudie la teoría de Teichmuller interuniversal (IUT)? Sé que se apoya mucho en la geometría anabeliana y en los trabajos anteriores de Mochizuki, pero ¿cuál es el orden para estudiar ese material? Creo haber visto en alguna parte una lista completa de trabajos que hay que leer de principio a fin para llegar a un nivel de comprensión que permita abordar los cuatro trabajos originales sobre la teoría IUT, pero no la encuentro.

Answer 1

Según El propio Mochizuki Los requisitos esenciales para los trabajos de IUTeich son los siguientes

• Semigráficos de Anabelioides (secciones 1 a 6)

• La Geometría de los Frobenioides I: La teoría general (completo)

• La geometría de los frobenioides II: los polifrobenioides (secciones 1 a 3)

• La función Theta de Etale y sus manifestaciones teórico-frobenianas (completo)

• Temas de Geometría Anabelina Absoluta I: Generalidades (secciones 1 y 4)

• Temas de Geometría Anabeliana Absoluta II: Grupos de Descomposición y Endomorfismos (sección 3)

• Temas de Geometría Anabeliana Absoluta III: Algoritmos de Reconstrucción Global (secciones 1 a 5)

• Curvas elípticas aritméticas en posición general (completo)

Mientras que otras fuentes también se recomienda:

• La teoría Hodge-Arakelov de las curvas elípticas: Discretización global de las teorías locales de Hodge

• El morfismo teórico de Kodaira-Spencer de una curva elíptica

• Estudio de la teoría Hodge-Arakelov de las curvas elípticas I

• Estudio de la teoría Hodge-Arakelov de las curvas elípticas II

Especialmente interesantes son las recientes observaciones ampliadas de Fesenko sobre IUT (y el aprendizaje de IUT):

• Ivan Fesenko, Teoría de la deformación aritmética mediante grupos fundamentales aritméticos y funciones theta no arquimédicas

También hay un documento introductorio de Yuichiro Hoshi, pero al menos por el momento sólo está disponible en japonés

• Yuichiro Hoshi, Introducción a la teoría interuniversal de Teichmüller

En cuanto a la (considerable) brecha entre el trabajo de Hartshorne y el de Mochizuki, las referencias de cada artículo son bastante concretas y útiles (véase, por ejemplo, las de Topics in Absolute Anabelian Geometry I para una buena muestra).

Answer 2

Intentaré cubrir la "considerable brecha" mencionada en la respuesta de Myshkin, desde la geometría algebraica al nivel de Hartshorne hasta el trabajo de Mochizuki. Como descargo de responsabilidad, mencionaré que mi comprensión del enfoque de Mochizuki está muy, muy lejos de ser satisfactoria; sin embargo, creo que todavía es posible entender algunos de los prerrequisitos más básicos del trabajo de Mochizuki (que en este momento también estoy tratando de aprender) sin entender completamente el trabajo de Mochizuki en sí.

"0". Teoría algebraica de números - Aparte de la geometría algebraica, algunas ideas básicas de la moderna teoría algebraica de números son ciertamente importantes, como el principio local-global, y por qué podríamos querer desarrollar análogos para campos p-ádicos de cosas con las que ya estamos familiarizados en el caso real y complejo.

Referencias sugeridas: Algebraic Number Theory de Jurgen Neukirch o Algebraic Number Theory de J. W. S. Cassels y A. Frohlich.

I. Curvas elípticas - Las curvas elípticas juegan un papel importante en el enfoque de Mochizuki. La conjetura abc es equivalente, a través de la curva de Frey, a la conjetura de Szpiro, que se refiere a las curvas elípticas. A menudo se dice que el enfoque de Mochizuki es (incluso por el propio Mochizuki) análogo a las pruebas de la conjetura de Szpiro para el caso de los campos de funciones; primero, en su anterior "Teoría de Hodge-Arakelov", intenta seguir la prueba del propio Szpiro (véase la obra de Minhyong Kim respuesta a este pregunta ), y en su "Teoría Interuniversal de Teichmuller", la prueba de Bogomolov y Zhang (ver papel y la de Mochizuki discusión de la analogía).

Además, la parametrización de Tate de las curvas elípticas desempeña un papel importante en la teoría de Teichmuller interuniversal de Mochizuki. Véase, por ejemplo, la obra de Kiran Kedlaya conferencia en la conferencia de 2015 sobre la teoría interuniversal de Teichmuller en Oxford.

Referencias sugeridas: The Arithmetic of Elliptic Curves y Advanced Topics in the Arithmetic of Elliptic Curves de Joseph Silverman

II. Geometría anabeliana - La geometría anabeliana es la idea de que podemos "reconstruir" ciertas variedades algebraicas (llamadas variedades anabelianas) a partir de sus grupos fundamentales etale. Antes de desarrollar la Teoría Interuniversal de Teichmuller, Mochizuki se hizo conocido por demostrar que las curvas hiperbólicas (que incluyen, por ejemplo, las curvas elípticas con un punto eliminado, y la línea proyectiva con tres puntos eliminados) son variedades anabelianas. Las ideas de "reconstrucción" figuran en gran medida en el enfoque de Mochizuki; aunque todavía no he podido averiguar de qué manera exactamente.

Referencias sugeridas: La conjetura de Grothendieck sobre los grupos fundamentales de las curvas algebraicas por Hiroaki Nakamura, Akio Tamagawa y Shinichi Mochizuki

Además, apoyo la recomendación de Fesenko notas mencionado en la respuesta de Myshkin, así como notas de este seminario sobre las Clases Kummer y la Geometría Anabeliana en Vermont.