¿Se reduce el anillo de variedades de Grothendieck?

Question

Una construcción muy clara de Bjorn Poonen muestra que el anillo de variedades de Grothendieck (sobre un campo de char. 0) no es un dominio: http://arxiv.org/abs/math/0204306

¿Se reduce el anillo de variedades de Grothendieck? (Mi suposición: la respuesta es sí, la prueba es lo suficientemente fácil como para que varias personas lo hayan observado sin escribirlo en ningún sitio. Pero no sé cómo demostrarlo).

Answer 1

El ejemplo de Qing Liu probablemente funciona, sólo que no sabemos si una variedad abeliana en de carácter positivo está determinada por su clase en $K_0(\mathrm{Var}_k)$ . Sin embargo, sabemos que en la característica cero (esto es lo que utiliza Bjorn Poonen en sus ejemplos) y la no cancelación es una cuestión puramente fenómeno aritmético y, por tanto, puede realizarse en la característica cero.

Por lo tanto, dejamos que $\mathcal A$ sea un orden máximo en un definido (es decir, $\mathcal A\otimes\mathbb R$ es no dividida) álgebra de cuaterniones sobre $\mathbb Q$ . Hay una variedad abeliana $A$ sobre algún campo $k$ de característica cero con $\mathcal A=\mathrm{End}(A)$ (Bjorn trabaja duro para que su ejemplo se defina sobre $\mathbb Q$ Aquí no hago tal afirmación). Para cualquier f.g. proyectiva (es decir, libre de torsión) libre) $\mathcal A$ -Módulo $M$ podemos definir una variedad abeliana $M\bigotimes_{\mathcal A}A$ se caracteriza por $\mathrm{Hom}(M\bigotimes_{\mathcal A}A,B)=\mathrm{Hom}_{\mathcal A}(M,\mathrm{Hom}(A,B))$ para todas las variedades abelianas (concretamente se construye realizando $M$ es el núcleo de un idempotente de algún $\mathcal A^n$ y luego tomar el núcleo del mismo idempotente que actúa sobre $A^n$ ). En cualquier caso, vemos que $M$ y $N$ son isomorfas precisamente cuando $M\bigotimes_{\mathcal A}A$ es isomorfo a $N\bigotimes_{\mathcal A}A$ .

Ahora (todos los resultados aritméticos utilizados a continuación pueden encontrarse en, por ejemplo, Irving Reiner: Maximal orders, Academic Press, Londres-Nueva York), el grupo de clases de $\mathcal A$ es igual al grupo de clase del rayo de $\mathbb Q$ con respecto al primo infinito, es decir, el grupo de ideales fraccionarios de $\mathbb Q$ modulo ideales con generadores estrictamente positivos. Como son todos los ideales encontramos que el grupo de clases es trivial. Además, tenemos el teorema de estabilidad de Eichler que dice que los módulos proyectivos de rango $\geq2$ están determinados por su rango y imagen en el grupo de clases y, por tanto, están determinadas por su rango (la condición de rango viene en que $\mathrm{M}_k(\mathcal A)$ es un álgebra central simple álgebra que es indefinida en el primo infinito). En particular, si $M_1$ y $M_2$ son dos rangos $1$ módulos sobre $\mathcal A$ y $A_1$ y $A_2$ son las correspondientes variedades abelianas obtenemos que $A_1\bigoplus A_2\cong A\bigoplus A$ ya que el lado izquierdo (o derecho) está asociado a $M_1\bigoplus M_2$ (resp. $\mathcal A^2$ ). Por lo tanto, para obtener un ejemplo basta con dar un ejemplo de un $\mathcal A$ para los que existe $M_1\not\cong M_2$ . El número (o más fácilmente masa) de clases de isomorfismo de ideales puede calcularse mediante fórmulas de masa y tiende al infinito con el discriminante de $\mathcal A$ . Es interesante interesante observar que cuando el discriminante es un primo $p$ podemos ir hacia atrás utilizando curvas elípticas supersingulares: La masa es igual a la masa de curvas elípticas supersingulares en la característica $p$ y esta última masa puede ser calculada geométricamente para ser igual a $(p-1)/24$ .