Categorizaciones de los números reales

Question

Para los fines de esta cuestión, un categorification de los números reales es un par $(\mathcal{C},r)$ que consiste en:

• un monoidal simétrica categoría $\mathcal{C}$
• una función de $r\colon \mathrm{ob}(\mathcal{C})\to\mathbb{R}$

de tal forma que:

• $r(X\otimes Y) = r(X) r(Y)$ para todos los objetos de $X$ e $Y$ de % de $\mathcal{C}$
• $r(\mathbb{1}) = 1$ donde $\mathbb{1}$ es el monoidal unidad
• $X\cong X'\implies r(X)=r(X')$

Algunos ejemplos de categorifications de $\mathbb{R}$ son: finito y conjuntos de cardinalidad; finito-dimensional espacios vectoriales y dimensión; espacios topológicos (con la homotopy tipo de un CW-complejo, digamos) y la característica de Euler. Sin embargo, en estos ejemplos, el mapa de $r$ factores a través de $\mathbb{N}$ o $\mathbb{Z}$. Estoy interesado en los ejemplos donde los valores de $r$ no están muy restringidos.

Pregunta: ¿Qué categorifications de $\mathbb{R}$ están allí donde $r$ puede tomar todos los valores en $\mathbb{R}$, o tal vez todos los valores en $(0,\infty)$ o $(1,\infty)$?

Estoy especialmente interesado en los ejemplos que aparecen ya en algún lugar en la literatura matemática. También estoy especialmente interesado en los ejemplos donde $\mathcal{C}$ es monoidal simétrica abelian y r(a)+r(C) = r(B) para cada secuencia exacta corta $0\to A\to B\to C\to 0$.

Answer 1

Si se le cae la condición de que su categoría monoidal simétrica, y contentarse con una categoría que simplemente monoidal, entonces el tensor de la categoría de $R$-$R$-bimodules para $R$ un factor (factor = von Neumann álgebra con trivial en el centro) es un ejemplo .

El "quantum dimensión" o "dimensión estadística" de un $R$-$R$-bimodule es una $\mathbb R_{\ge 0}\cup\{\infty\}$valores de invariantes con todas las propiedades que desee.

Ver, por ejemplo, mi artículo: https://arxiv.org/abs/1110.5671, específicamente la Proposición 5.2.

Answer 2

Un ejemplo podría ser proporcionados por los diversos géneros. Un género no es sólo multiplicativo con respecto al producto Cartesiano de los colectores, pero también aditivo con respecto a sus distintos suma, y no es sólo isomorfismo pero también cobordism invariante. Algunos géneros no factor a través de $\mathbb Z$ -- por ejemplo el $\hat A$-género toma valores no enteros, en algunos no-spin colectores.

No sé si hay un género que alcanza todos los valores reales. El $\Gamma$-género de Morava (arXiv:1101.1647) parece tener un montón de no-racional valores pero soy demasiado ignorante para decir nada de confianza al respecto.

Answer 3

En un poco de espíritu similar a მამუკა ჯიბლაძე la respuesta: las generalizaciones de la característica de Euler. Como se mencionó en el OP, clásica característica de Euler asociados a un número entero de un número finito de complejos de una manera que es aditivo con respecto a los sindicatos y multiplicativos con respecto a los productos. Hay variaciones que se aplican no sólo a lo finito complejos (algunos se describen en La característica de Euler de una categoría (arXiv:matemáticas/0610260), de Tom Leinster). El extendido de Euler característica puede tener valores que no son enteros o incluso racional (por ejemplo, la característica de Euler de la simétrica groupoid es $e$). Pero es todavía un "anillo de mapa".

Answer 4

A través de la noción de groupoid cardinalidad (generalizando ordinario conjunto teórico de cardinalidad), finito no vacío groupoids puede ser visto como un categorification de los racionales positivos, y más en general groupoids como un categorification de la no-negativos reales:

• Juan Báez y James Dolan, De Finito de Conjuntos de Diagramas de Feynmann, en Matemáticas Ilimitado de 2001 y más Allá, Springer, 2001. (arXiv enlace)

Un ejemplo que Báez y Dolan discutir es la groupoid finito de conjuntos y bijections, que tiene cardinalidad $e$. (La noción de la característica de Euler de una categoría, se menciona en Gregory Arone la respuesta, puede ser visto como una mayor generalización de groupoid cardinalidad, vea el Ejemplo 2.7 de Leinster del artículo.)

Answer 5

¿Podemos hacer un ejemplo en este sentido?
¿Una colección apropiada de espacios métricos, con$\otimes$ el producto cartesiano y$r$ una dimensión fractal? O más precisamente,$r(X) = \exp(\dim(X))$.

Quizás las flechas se contraen débilmente$d(f(x),f(y) \le d(x,y)$. Y quizás queremos los fractales finitos-dimensionales (para que$\dim(X) = \infty$ no se permita) en el sentido de Taylor (para que$\dim(X \times Y) = \dim(X)+\dim(Y)$).