¿Hay alguna manera de levantar 6 functores en poleas construibles al mundo dg?
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MikeD
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Si he entendido bien tu estás buscando una dirección general de mejora de las seis de la operación de formalismo.
Parece ser que hay un papel que hace algo muy parecido: Yifeng Liu y Weizhe Zheng, Mejorada seis operaciones y cambio de base teorema de poleas en Artin pilas (disponible en http://math.columbia.edu/~liuyf/sixi.pdf).
Ellos utilizan el lenguaje de la $(\infty,1)$-categorías, pero creo que uno lo puede adaptar a la dg-categorías (suponiendo que uno está trabajando sobre un campo de característica cero).
EDICIÓN Nov. 27, 2012: el preprint ha sido publicado en el arXiv: http://arxiv.org/abs/1211.5948
peSHIr
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Esta respuesta sólo se va a mitad de camino, pero creo que vale la pena señalar que el funcionamiento interno de los seis functor formalismo se han estudiado mucho en la motivic la literatura.
Motivic seis functor formalismos: El punto de referencia sería la tesis de Ayoub que usted puede encontrar en su página web. El formalismo de la cruz functors (basado en las obras no publicadas de Voevodsky y Deligne) da un marco general de cómo configurar el conjunto de seis functor formalismo. Otra referencia es el trabajo de Cisinski-Déglise en nidos categorías de motivos mixtos. Desarrollar el marco, con las nociones de motivic categorías fibrado sobre la categoría de esquemas.
Mi punto es que la entrada a estos marcos pueden ser las cosas más general que triangulaba categorías, estos marcos de trabajo estables categorías de modelo, $\infty$-categorías o dg-categorías (siempre que se alimentan en el derecho de la información). En el motivic configuración, el marco se aplica generalmente para producir seis functors para las categorías de los motivos. Pero si se comprueba la validez de los axiomas para étale poleas o $\ell$-ádico poleas, el marco se dará dg-versiones de las derivadas correspondientes categorías. Usted también debe mirar a la mixta Weil cohomologies papel de Cisinski-Déglise: conectar $\ell$-ádico cohomology en sus construcciones le da dg-versiones de $\ell$-ádico categorías derivadas.
Un grano de sal: Los marcos de arriba no (de forma explícita) producir dg-mejoras de los seis functors. Cuatro de los functors son fáciles de manejar, ya que son derivados de functors de functors en el nivel de abelian categorías de modo que la dirección general de mejoras. Nota, sin embargo, la excepcional functors solamente se construyen en los nidos de nivel en las mencionadas referencias. Pero pienso que puede ser actualizado a la dirección general versiones: por ejemplo, la construcción de $f_!$ a través de una colimit sobre la categoría de compactifications de $f$ y, a continuación, utilizando la adjoint $i_!$ de la inmersión y la $p_\ast$, para un adecuado mapa debe trabajar en la correspondiente dirección general de configuración. Del mismo modo, para la definición de $f^!$ uno podría aplicar una versión de la $\infty$-categorial functor adjunto teorema, junto con la adecuada compacto de generación de propiedades. Si es posible, es sólo una cuestión de tiempo antes de que un $\infty$-versión de estos formalismos estará disponible en la motivic mundo.
Constructibility condiciones: Los marcos de arriba suelen trabajar con bastante grandes categorías. Sin embargo, en el papel de Cisinski-Déglise, usted puede encontrar la descripción de objetos compactos en estas grandes categorías - que de acuerdo con el definido clásicamente edificable objetos. Por otra parte, en virtud de la más débil de las suposiciones, los seis functors también preservar objetos compactos - el marco de arriba, a continuación, le da la dg-versiones de $\ell$-ádico edificable poleas.
Otro grano de sal: Ok, esto es todo por el algebraicas, al trabajar sobre esquemas y tal. Si usted está más interesado en el local topológicos compactos configuración, la literatura se mencionó anteriormente, probablemente no se aplica directamente. Sin embargo, todas las técnicas están ahí, y estoy bastante seguro de que el marco puede ser adaptado a este entorno también.
