Cómo mostrar $\frac{19}{7}<e$

Question

¿Cómo puedo mostrar $\dfrac{19}{7}<e$ sin usar una calculadora y sin conocer ningún dígito de $e$ ?

Utilizando una calculadora, es fácil ver que $\frac{19}{7}=2.7142857...$ y $e=2.71828...$

Sin embargo, ¿cómo podría demostrarse esto en un entorno de pruebas en el que no se tiene acceso a una calculadora?

Mi única idea es utilizar la serie de Taylor para $e^x$ con $x=1$ para calcular $\displaystyle e\approx\sum \limits_{n=0}^{7}\frac{1}{n!}=\frac{685}{252}=2.7182...$

Sin embargo, este método parece muy lento y tedioso, encontrando denominadores comunes y realizando divisiones largas. ¿Existe una forma más rápida y elegante?

Answer 1

$$ \int_{0}^{1} x^2 (1-x)^2 e^{-x}\,dx = 14-\frac{38}{e},$$ pero el LHS es la integral de una función positiva en $(0,1)$ .

Answer 2

Los primeros convergentes de la representación de la fracción continua de $e$ son $$ 2, 3, \frac{8}{3}, \frac{11}{4}, \frac{19}{7}, \frac{87}{32}, \frac{106}{39} $$

Como estos convergentes oscilan monotónicamente hacia $e$ el último funciona para demostrar que $e>\frac{19}{7}$ .

(Si sabe que $e$ es irracional, puedes dejar de hacerlo en cuanto tengas $\frac{19}{7}$ como convergente porque habrá otros términos después).

Answer 3

Esto es un poco más fácil que el cálculo del OP $e\gt\sum_{n=1}^7{1\over n!}={685\over252}\gt{19\over7}$ aunque no por mucho: Podemos mostrar $e^{-1}\lt{7\over19}$ mediante el truncamiento de la serie alterna

$$e^{-1}\lt1-1+{1\over2}-{1\over6}+{1\over24}-{1\over120}+{1\over720}={360-120+30-6+1\over720}={265\over720}={53\over144}$$

y la multiplicación en cruz (con algunos de los pasos retenidos para facilitar la comprobación a ojo)

$$53\cdot19=1060-53=1007\lt1008=980+28=144\cdot7$$

Answer 4

Como ya sabes cuál debe ser el resultado, intenta eliminar los términos uno a uno calculando los residuos $r_i$ . Esto reducirá el tamaño de los números enteros, siempre y cuando factorices mientras puedas, lo cual es fácil debido a los factoriales (números altamente compuestos).

En primer lugar, observe que el primer $3$ términos para $e$ dar $\frac{5}{2}$ . Ahora, encuentra los residuos: $$r_1 = \frac{19}{7} - \frac{5}{2} = \frac{3}{2.7}\,, $$ $$r_2 = \frac{3}{2.7} -\frac{1}{6} = \frac{1}{2}\left(\frac{3}{7}-\frac{1}{3}\right) =\frac{1}{3.7}\,,$$ $$r_3 =\frac{1}{3.7} -\frac{1}{3.8} = \frac{1}{3}\frac{1}{7.8}\,,$$ $$r_4 =\frac{1}{3.7.8} -\frac{1}{120} = \frac{1}{3.8}\left(\frac{1}{7}-\frac{1}{5}\right)\,.$$

Desde $5<7$ el último residuo $r_4$ es negativo, se puede parar aquí, no teniendo que hacer nunca multiplicaciones largas, siendo la más difícil $19\times 2$ .

Answer 5

Supongamos que $8$ términos de Taylor será suficiente y estimar $7!\left(\dfrac{19}7-e\right)$ .

Computar $7!$ al revés, para obtener

$$1,7,42,210,840,2520,5040,5040.$$

Inicializar con $$7!\cdot\frac{19}{7}=13680.$$

Resta los términos hasta que obtengas un negativo,

$$8640,3600,1080,240,30,-12.$$

Para ello se necesitan seis multiplicaciones, una única división y seis sustracciones, con números enteros que no superen los cinco dígitos.