Expectativa de una suma aleatoria

Question

Deje $X_1, X_2, X_3,\dots$ ser un yo.yo.d. secuencia de variables aleatorias con finito significa. Escribir $S_n=X_1+X_2+\dots+X_n$.

Deje $N$ ser un entero no negativo, con valores de variable aleatoria finita decir. $N$ no puede ser independiente de la secuencia de $(X_i)$.

Es necesariamente el caso de que $S_N$ ha finito significa?

Por supuesto, es cierto si $N$ es independiente de la secuencia de $(X_i)$. A continuación,$E(S_N)=E(N)E(X_1)$. Esto sigue siendo cierto si $N$ es un tiempo de paro de la secuencia de $(X_i)$.

También es cierto que si el $X_i$ tiene varianza finita. Entonces para cualquier $c>E(X_i)$, la cantidad de $R_c=\sup(S_n-cn)$ ha finito significa, y $E(S_N)\leq cE(N)+E(R_c)$.

Answer 1

Edit: se me hizo un poco más clara y sencilla.

No. Empezar con darse cuenta de que no es "lineal" estimación de la media de $S_N$ en términos de la media de la muestra $X$ bajo el supuesto de que la media de $N$ es pequeña. Para ello simplemente tome $X$ ser $0$ con una probabilidad de $1-p$ e $A$ con una probabilidad de $p$, de modo que $Ap$ es pequeña. Ahora, una vez que tenemos una secuencia $X_i$ de copias independientes de $X$, definir $N$ a $m$ si al menos uno de $X_1,\dots,X_m$ no $0$ e $0$ lo contrario. A continuación, $ES_N= Apm$ e $EN\le m^2p$ e $EX=Ap$.

Ahora elija $A_j,p_j,m_j$, de modo que $\sum A_jp_j<+\infty$, $\sum A_jp_jm_j=+\infty$, $\sum m_j^2p_j<+\infty$. Por ejemplo, tomar $m_j=2^j$, $p_j=2^{-3j}$, $A_j=2^{2j}$.

Definir las muestras aleatorias $X^{(j)}$ y aleatorio en el intervalo de longitudes de $N^{(j)}$ como arriba, con $A_j,p_j,m_j$ en lugar de $A,p,m$. Poner $X=\sum_j X^{(j)}$, $N=\sum_j N^{(j)}$. A continuación, $EX$ e $EN$ son finitos. Deje $X_i$ ser independiente copias de $X$. Tenemos $E\sum_1^N X_i\ge E\sum_j \sum_1^{N^{(j)}}X_i^{(j)}=\sum_j A_jp_jm_j=+\infty$.

Answer 2

Aquí hay un contraejemplo.

Deje que$X$ sea igual a$2^k k^{-2}$ con probabilidad$2^{-k}$. La probabilidad de que entre$n$ iid copias de$X$ obtengamos al menos una con valor$2 ^ {2 \log n} (2 \log n)^{-2}= n^2 (2 \log n)^{-2}$ es aproximadamente$n^{-1}$. Llame a este evento$A_n$.

Por lo tanto, si elegimos que$N$ sea$2^{2k/3}$ con probabilidad$2^{-k}$ de manera que el evento$N=2^k$ sea un subconjunto de$A_{2^{2k/3}}$, obtenemos ese$S_N$ tiene una expectativa infinita. Esto debería ser bastante fácil de hacer ya que los eventos$A_n$ tienden a ser independientes para los lejanos$n$ 's.

Answer 3

Suponga $X_1$ tiene una infinidad de varianza y deje $N$ denotar la primera vez $n$ tal que $S_n-cn=R_c$. Por eso no logran encontrar una referencia, pero que seguramente sabes, $R_c$ no es integrable por lo tanto $S_N$ no está bien. Para obtener una respuesta a su pregunta, habría que demostrar que $N$ es integrable.

La probabilidad de que $N$ no es una de las $n$ primeros tiempos de registro debe disminuir geométricamente por lo tanto, si el momento de un primer registro es integrable, condicionalmente en el hecho de que hay un récord positivo, hemos terminado. Me parece recordar que un paseo aleatorio con deriva negativa acondicionado en golpear a los positivos halfline es un paseo aleatorio basado en diferentes incrementos con un positivo a la deriva. Uno debe ser capaz de truncar ellos para conseguir delimitada incrementos aún con un resultado positivo a la deriva. A continuación, el resultado se convierte en trivial. (No estoy seguro de que todo este razonamiento es a prueba de agua, sin embargo. Si no lo es, disparar.)