Hoja de ruta de Mirror Symmetry

Question

Estoy interesado en aprender la Simetría en el Espejo, tanto desde el punto de vista SYZ como homológico. Estoy tomando un curso de lectura en Simetría en el Espejo, que se centrará en el lado SYZ. Conozco la geometría compleja básica, los colectores de Kahler, los colectores simplécticos en el lado geométrico y también he leído algún material para mi curso sobre la conjetura SYZ. Mi mayor preocupación es el lado homológico, sobre el que tengo poco conocimiento.

Estoy buscando una lista de buenas referencias sobre la conjetura SYZ, la Simetría Espejo Homológica, la física de la teoría, los desarrollos modernos y sobre su relación con otras áreas de las matemáticas y algunos artículos originales (preferiblemente en orden cronológico).

¿Qué opina del libro de Claire Voisin sobre la simetría en el espejo? Y cuál es el estado actual de la investigación en la Simetría de los Espejos, es decir, en qué tipo de problemas está trabajando la gente.

Answer 1

Apuntes de Auroux para un curso sobre simetría especular en Berkeley .

Parecen interesantes y abarcan mucho material.

Answer 2

No puedo decir nada sobre la física... :-)

Pero para la conjetura HMS de Kontsevich, mi lista personal (muy sesgada) favorita de todos los tiempos es:

• Dos grandes documentos de la encuesta para empezar son: "Una introducción a las categorías de Fukaya para principiantes" y "Un prolegómeno simpléctico" .
• A continuación, están los apuntes de Denis de una clase de posgrado que impartió en dos ocasiones. Los apuntes se pueden encontrar en: 18.969 (MIT) / Matemáticas 277 (Berkeley) .
• Otra gran fuente son las conferencias de Nick Sheridan en IAS y Escuela de verano de Jussieu . Son extremadamente claros y también incluyen una visión general de los antecedentes operatorios.
• Clase de James Pascaleff M392C (UT Austin) cubre muchos de los aspectos básicos de (Co)homología lagrangiana de Floer (que es un componente necesario para definir la categoría de Fukaya) más allá de la conferencia habitual de una hora. También conecta la teoría actual con la heurística estándar ("¡La teoría de Floer es la teoría de Morse para el funcional de acción!").
• La clase de posgrado de Sheel Matemáticas 257B tiene un resumen muy bueno del análisis y el álgebra necesarios para definir una categoría Fukaya con vistas a Modelos LG
• Los apuntes de Seidel de una clase de temas sobre la simetría especular equivariante ( "Conferencias sobre Dinámica Categórica y Topología Simpléctica" ) incluyen una gran cantidad de material sobre casi todos los temas que se puedan imaginar, desde los grupos derivados de Picard, pasando por la homología y la cohomología de Hochschild, hasta la configuración real de una categoría de Fukaya para el caso de las superficies... todo ello en conferencias modulares y concisas (y densas).
• Hiro Lee Tanaka impartió una clase de posgrado sobre las categorías de Fukaya llamada: Categorías de Fukaya, láminas y cosenoides . Incluye algunos buenos ejemplos de HMS, y también discute el marco abstracto más grande (como el de TFT, $(\infty,1)$ -categorías, CY-categorías,...)
• Para SYZ (además de la clase de Auroux), Siu Cheung Liu impartió hace un par de años un par de clases sobre simetría en el espejo para una perspectiva SYZ. Los apuntes están en su sitio web .
• Un libro muy bueno sobre las categorías derivadas es "Transformadas de Fourier-Mukai en geometría algebraica" . Sheel Gantara's tesis (más generalmente, la sección "Preliminares" en todos los documentos de Gantara-Perutz-Sheridan) proporcionan muchos antecedentes y referencias sobre $A_\infty$ -álgebra y geometría no conmutativa con una aplicación de simetría especular en mente.

Después de eso, probablemente se debería empezar a leer trabajos de investigación (por ejemplo, los primeros trabajos de Paul como "Una larga secuencia exacta para la cohomología Floer simpléctica" y "Submanifolds lagrangianos graduados" son una buena fuente para las tuercas y los tornillos de la teoría de Floer, culminando en la definición de la categoría Fukaya en el ajuste exacto ).

Para entender la categoría de Fukaya para un manfold cerrado, no monótono y simpléctico, probablemente necesitarás técnicas de perturbación virtual . Pero esta es una historia totalmente diferente ....

Answer 3

Para entender la conjetura SYZ es necesario comprender el marco de las D-branas. Creo que una muy buena introducción, todavía inigualable por su amplitud, es el libro de Hori et al. sobre "Mirror Symmetry". Este libro ha sido puesto a disposición del público por el Clay Math Institute y puede descargarse de su sitio web http://www.claymath.org/library/monographs/cmim01.pdf . [ o de http://www.worldcat.org/title/mirror-symmetry/oclc/491393219 Una referencia más reciente es el libro de Joyce sobre "Riemannian Holonomy Groups and Calibrated Geometry", que contiene una discusión de la conjetura SYZ desde un punto de vista más riguroso.

Answer 4

Mi tesis de maestría, Introducción a la simetría homológica en espejo y al caso de las curvas elípticas puede proporcionarle una parte de lo que está buscando. Se ocupa principalmente del lado simpléctico de HMS (porque sólo tengo un conocimiento muy superficial de la geometría algebraica), pero incluye una buena cantidad de antecedentes y algo de historia. Intenté que fuera un documento útil para que lo leyeran otros principiantes... aunque luego lo dejé pudrirse en JSTOR durante dos años antes de publicarlo en arXiv :)
Oh, bueno, ahora está ahí arriba. Espero que sirva de algo.

Answer 5

El libro "Ramas de Dirichlet y simetría de espejo" de Aspinwall et. al. parece encajar bastante bien con su petición. Trata de la SYZ, la Simetría Espejo Homológica y su origen físico.