Permítanme tratar de dirección de las viñetas de preguntas y simultáneamente anunciar el G-R libro de todos los que ha mencionado. Dado que la principal pregunta fue acerca de la literatura, también podría mencionar Drinfeld del artículo "la DG de cocientes de la DG de categorías", que resume muy bien el estado de la teoría general antes de $\infty$-categorías sacudió todo. Sin embargo, no contiene la geometría algebraica.
Si $X = \text{Spec } A$ es un esquema afín, es razonable definir la categoría de quasicoherent poleas $\text{QCoh}(X) := A\text{-mod}$ según la categoría de $A$-módulos. Cualquier otra definición (por ejemplo, a través de Zariski poleas) debe reproducir esta respuesta de todos modos. Si entendemos esto como la derivada de la categoría de $A$-módulos, entonces no es un canónica de la DG de modelo: la homotopically proyectivos complejos en el sentido de Drinfeld del artículo.
El siguiente paso es construir las $\text{QCoh}(X)$ para $X$ no necesariamente afín. Así que escribe $X = \cup_i \text{Spec } A_i$ como una unión de abrir afines (decir $X$ es separado para simplificar las cosas). Sería genial si pudiéramos "pegamento" de las categorías $A_i\text{-mod}$, la forma en que calculamos el mundial secciones de una gavilla como un cierto ecualizador. Concretamente, un complejo sistema de poleas en $X$ debe constar de los complejos de $A_i$-módulos para todos los $i$, identificados en los traslapos a través de isomorphisms la satisfacción de cocycle "condiciones" (en realidad, los datos adicionales). Este es el tipo de cosa que totalmente falla en los nidos mundo: los límites de 1-categorías de simplemente no hacer el truco. Incluso si trabajamos con la dirección general de mejoras, la DG de categorías no forman un DG categoría, por lo que esto no ayuda.
Como usted puede haber adivinado, aquí es donde $\infty$-categorías venir al rescate. Permítanme pasar por alto los detalles, y sólo decir que hay un (estable, $k$-lineal) $\infty$-categoría conectado a un DG categoría, tales como: $A$- mod, lo que se denomina la DG de los nervios. Si tomamos el mencionado ecualizador en el $\infty$-categoría de $\infty$-categorías, a continuación, nos hacen llegar la correcta $\infty$categoría $\text{QCoh}(X)$, en el sentido de que su homotopy categoría es la habitual derivada de la categoría de quasicoherent poleas en $X$. (Edit: Como Runa Haugseng explica en los comentarios, es realmente necesario tomar el límite del diagrama de $\infty$-categorías que se obtiene por la aplicación de $\text{QCoh}$ a la Cech los nervios de la cubierta. El ecualizador es una versión truncada de esta.)
Pero, usted podría estar pensando, yo podría haber construido un modelo DG para $\text{QCoh}(X)$ usando inyectiva complejos de Zariski poleas o algo. Eso es cierto, y obviamente es suficiente para muchas aplicaciones, pero tan pronto como usted quiere trabajar con objetos más generales que los esquemas que se está regado. Es cierto, hay soluciones mediante la DG categorías de Artin pilas, pero la teoría es muy técnico y muy rápido.
Si nosotros en lugar de aceptar la inevitabilidad de la $\infty$-categorías, podemos hacer la siguiente negrita de la construcción. Un prestack es arbitraria functor de afín a los esquemas de a $\infty$-groupoids (es decir, espacios en el sentido de homotopy teoría). Por ejemplo, afín a los esquemas son representables prestacks, pero prestacks también incluyen arbitraria y planes de Artin pilas. Entonces para cualquier prestack $\mathscr{X}$ podemos definir $\text{QCoh}(\mathscr{X})$ a ser el límite de la $\infty$categorías $A\text{-mod}$ sobre el $\infty$-categoría de afín esquemas $\text{Spec } A$ la asignación a $\mathscr{X}$. Un cofinality argumento de Zariski atlas muestra esto está de acuerdo con nuestra definición anterior para $\mathscr{X}$ a un esquema.
Por ejemplo, si $\mathscr{X} = \text{pt}/G$ es la clasificación de la pila de una expresión algebraica grupo $G$, entonces el homotopy categoría de $\text{QCoh}(\mathscr{X})$ es la derivada de la categoría de representaciones de $G$. Incluso más: si $X$ es un esquema de Rham prestack $X_{\text{dR}}$ está definido por $$\text{Map}(S,X_{\text{dR}}) := \text{Map}(S_{\text{red}},X).$$ Then, at least if $k$ has characteristic zero, our definition of $\text{QCoh}(X_{\text{dR}})$ recovers the derived category of crystals on $X$, which can be identified with $\mathscr{D}$-módulos. Por eso, pusimos dos diferentes `sabores" de la gavilla de la teoría en un pie de igualdad.
