Dado un polinomio f, ¿puede haber más de una constante c tal que se repita cada raíz de f (x) -c?

Question

La pregunta

Deje $f$ ser un polinomio no constante sobre $\mathbb{C}$. Supongamos que un punto de $c \in \mathbb{C}$ es inusual para $f$ si cada raíz $x$ de % de $f(x) - c$ se repite. Puede $f$ tiene más de un inusual punto?

Breves comentarios

• No puede ser exactamente un inusual punto, por ejemplo, si $f(x) = x^2$. No puede haber ninguna, por ejemplo, si $f(x) = x^3 + 3x$.

• Hay en la mayoría de las $\deg(f) - 1$ inusual puntos, ya que cada inusual punto de la imagen en $f$ de un punto crítico.

• La hipótesis de "no constante" y "sobre la $\mathbb{C}$" puede ser variada. He añadido a descartar casos como los siguientes: sobre un campo $k$ de los característicos $p$, cada punto de $k$ es inusual para $x^p$ (ya que el derivado de la $x^p$ es $0$). Yo estaría encantado de cambiar la hipótesis de "polinomio no constante a través de una algebraicamente cerrado campo de característica 0". Tal vez algo como "polinomio cuya derivada es distinta de cero, a través de una algebraicamente cerrado campo" también sería sensato.

Débil razón para esperar que la respuesta sea "no"

Tal vez hay una muy breve respuesta a mi pregunta: me podría estar pasando por alto algo elemental. Pero en el caso de que no es tan fácil, te voy a dar una endeble argumento de por qué podríamos esperar que la respuesta sea "no", es decir, por qué podríamos esperar de cada polinomio tener más de un inusual punto.

Mi pregunta es equivalente a: existe un polinomio no constante $f$ sobre $\mathbb{C}$ para que $1$ e $-1$ son tanto inusual? Para $1$ ser inusual significa que cada raíz de $f(x) - 1$ también es una raíz de $f'(x)$. Escrito $d = \deg(f)$, esto es equivalente a $$ (f(x) - 1) \a mediados de f'(x)^d. $$ Del mismo modo, para $-1$ ser inusual significa que $(f(x) + 1) \mid f'(x)^d$. Los dos juntos son equivalentes a $$ (f(x)^2 - 1) \a mediados de f'(x)^d, $$ es decir, $$ (f(x)^2 - 1)\cdot g(x) = f'(x)^d $$ para algunos $g(x) \in \mathbb{C}[x]$. Esto obliga a $\deg(g) = d(d - 3)$ (y por lo $d \geq 3$).

Así, podemos encontrar $f$ e $g$ la satisfacción de la última muestra de la ecuación? La comparación de los coeficientes, lo que tenemos aquí es un sistema de $d(d - 1) = d^2 - d$ ecuaciones en $(\deg(f) + 1) + (\deg(g) + 1) = d^2 - 2d + 2$ incógnitas. Hay $d - 2$ más ecuaciones que incógnitas, y $d \geq 3$, por lo que una primera conjetura es que no se puede hacer.

Answer 1

Esto es imposible por el Mason-Stothers teorema (que cuenta con más de cualquier algebraicamente cerrado campo de característica cero).

Queremos encontrar a $f, g, h$ tal que $f + g = h$ donde $g$ es una constante y $f, h$ tiene todas sus raíces repetidas. Si $g$ es distinto de cero, $f, h$ debe ser relativamente primos. Dejando $d = \deg f$, se deduce que el $fgh$ tiene más de $d$ raíces, pero por Mason-Stothers $fgh$ debe tener al menos $d+1$ raíces; la contradicción.

Answer 2

Animado por Pierre-Yves Gaillard, aquí hay una solución rápida al problema original. Se basa en la respuesta de Tom Leinster, que a su vez es una elaboración del comentario de Noam Elkies a la respuesta de Qiaochu Yuan.

Suponga que$a\neq b$ son inusuales para$f(x)$. Entonces$f'(x)^2$ es divisible por$f(x)-a$ y$f(x)-b$, por lo tanto también por su producto. Esto mostraría$\deg(f')\geq\deg(f)$, una contradicción.

Answer 3

Extender $f$ regular morfismos $\bar f:\mathbb P^1\to \mathbb P^1$ y anote el Hurwitz fórmula: $$K_{\mathbb P^1}\sim \bar f^*K_{\mathbb P^1} +R$$ donde $R$ es la ramificación del divisor. Desde $f$ es un polinomio, $\bar f$ es totalmente ramificado en $\infty$, lo $R$ contiene ese punto con multiplicidad $d-1$. Por lo tanto, el punto de equivalencia el resto de $R$ tiene el grado $d-1$. Ahora para un punto en el destino (su "$c$") para que todos los puntos en la preimagen son múltiples, el grado de ramificación del divisor por encima de este punto tiene que ser de al menos $d-\frac d2=\frac d2$ (es el título del mapa, menos el número de puntos). Si había dos puntos de la combinación de sus grados sería de al menos $d$ contradiciendo la observación anterior de que se debe en la mayoría de las $d-1$.

Answer 4

La pregunta puede ser reformulada de la siguiente manera: ¿puede haber un ramificada $n$-pliegue de la cubierta $S^2\to S^2$, con al menos 3 valores críticos, uno de los índice de $n$ y todos los preimages de la crítica de los valores de los puntos críticos?

Si un mapa existido, a continuación, en la preimagen de cualquier punto crítico aparte de la infinidad tendríamos $\leq \frac{n}{2}$ puntos. La de Riemann-Hurwitz fórmula para ramificada $n$-pliegue de la cubierta $M\to N$ de 2-variedades lee $$\chi(M)=n(\chi(N)-k)+a_1+\cdots +a_k$$ where $k$ is the number of the critical points and $a_i$ is the cardinality of the preimage of the $i$-th critical point. In our case this gives $$2=n(2-k)+1+a$$ with $a\leq\frac{n}{2}(k-1)$, so the right hand side is $\leq n(2-k+\frac{k-1}{2})+1=n(\frac{3}{2}-\frac{k}{2})+1$ and can't be 2 when $k\geq 3$.

Answer 5

Noam Elkies dejado un comentario muy valioso debajo de Qiaochu de Yuanes de respuesta, proporcionando un completo primaria y auto-contenida solución a mi pregunta. Para el beneficio de cualquier persona interesada, voy a explicar aquí. (Y voy a hacer que esta respuesta wiki de la comunidad como esta es Noam la solución, no el mío.)

Deje $k$ ser un algebraicamente cerrado de campo. Para $f \in k[x]$ e $\alpha \in k$, escribir $\mu(f, \alpha)$ por la multiplicidad de $\alpha$ como una raíz de $f$; es decir, $\mu(f,\alpha) = \sup \{n \in \mathbb{N} : (x - \alpha)^n|f(x)\}$. Algunos muy hechos básicos:

• $\mu(f,\alpha) > 0$ fib $f(\alpha) = 0$

• $\sum_{\alpha \in k} \mu(f,\alpha) = \sum_{\alpha \in f^{-1}(0)} \mu(f,\alpha) = \deg(f)$ mientras $f \neq 0$

• $\mu(f',\alpha) \geq \mu(f,\alpha) - 1$.

Un punto de $a \in k$ es inusual para $f$ fib $\mu(f-a,\alpha) \geq 2$ para todos los $\alpha \in f^{-1}(a)$.

Para no constante $f$, es fácil ver que si $a$ es raro, a continuación,$|f^{-1}(a)| \leq \deg(f)/2$. De hecho, $$ \deg(f) = \deg(f - a) = \sum_{\alpha \in f^{-1}(a)} \mu(f - a,\alpha) \geq 2|f^{-1}(a)|. $$

Teorema Deje $f \in k[x]$. Si $f' = 0$, entonces cada punto de $k$ es inusual para $f$. Si $f' \neq 0$, a continuación, en más de un punto de $k$ es inusual para $f$.

Prueba de La primera instrucción es clara. Para el segundo, supongamos que $a$ e $b$ son inusuales, con $a \neq b$. Tenemos $$ \begin{aligned} \sum_{\alpha \in f^{-1}(a)} \mu(f', \alpha)& = \sum_{\alpha \in f^{-1}(a)} \mu((f - a)', \alpha)\\\ &\geq \sum_{\alpha \in f^{-1}(a)} \bigl[\mu((f - a), \alpha) - 1\bigr]\\\ & = \deg(f-a) - |f^{-1}(a)|\\\ & \geq \frac{1}{2}\deg(f). \end{aligned} $$ Lo mismo va para $b$. Pero $f^{-1}(a) \cap f^{-1}(b) = \emptyset$ e $f' \neq 0$, por lo que $$ \begin{aligned} \deg(f') & = \sum_{\gamma \in k} \mu(f', \gamma)\\\ & \geq \sum_{\alpha\in f^{-1}(a)} \mu(f', \alpha) + \sum_{\beta\in f^{-1}(b)} \mu(f',\beta)\\\ & \geq \frac{1}{2}\deg(f) + \frac{1}{2}\deg(f) = \deg(f), \end{aligned} $$ dando a $\deg(f') \geq \deg(f)$, una contradicción.