¿Contiene todo conjunto de reales un conjunto de medida cero de la misma cardinalidad? ¿Contiene un conjunto de medida cero de la misma cardinalidad?

Question

Esta pregunta surge de una cuestión en mi post sobre la excelente pregunta de Ashutosh sobre Restricciones del ideal nulo/medido .

Pregunta 1. ¿Contiene todo conjunto de reales un subconjunto de medida cero de la misma cardinalidad?

En otras palabras, si $A\subset\mathbb{R}$ ¿existe un conjunto de medida cero $B\subset A$ con $|B|=|A|$ ? ¿Es esta afirmación al menos coherente? ¿Se desprende de la hipótesis del continuum? ¿Se deduce de alguna otra hipótesis de características cardinales? En la aplicación prevista, lo que se necesita es que la afirmación sea consistente con que el número de aditividad de la medida sea igual al continuo. ¿Es esto consistente? ¿Puede alguien demostrar la consistencia del fallo de la propiedad?

Del mismo modo, en el caso de la categoría en lugar de la medida:

Pregunta 2. ¿Contiene todo conjunto de reales un subconjunto exiguo de la misma cardinalidad?

Y del mismo modo, ¿es coherente esta afirmación? ¿Se deduce de la CH o de otras hipótesis de características cardinales? ¿Es consistente con que el número de aditividad para el ideal exiguo sea grande? ¿Puede alguien demostrar la consistencia del fallo de la propiedad?

Las preguntas surgen en mi post sobre la pregunta de Ashutosh, donde había propuesto como idea de solución la estrategia de una construcción de ida y vuelta del continuo de longitud, donde el dominio y el objetivo permanecen con medida cero durante el curso de la construcción. Pero para que esta estrategia tenga éxito, parece que necesitamos saber en el contexto que uno puede extender un determinado conjunto de medida cero dentro de otro conjunto que no es de medida cero a un conjunto de medida cero más grande conjunto de medida-cero con la misma cardinalidad (y lo mismo con la medida-cero). Al principio había pensado que esto debería ser fácil, pero después de reflexionar estoy menos seguro de ello, y por eso hago estas preguntas aquí.

Answer 1

Es coherente que ambas preguntas tengan una respuesta negativa. De hecho, esto ocurre si se cumple MA.

Un conjunto $E$ de reales se llama conjunto de Luzin si $E$ tiene un tamaño continuo y para cada conjunto exiguo $X$ la intersección $E\cap X$ tiene un tamaño menor que el continuo.

Un conjunto de reales $E$ se llama conjunto de Sierpinski si $E$ tiene tamaño continuo y para cada conjunto de medida cero $X$ la intersección $E\cap X$ tiene un tamaño menor que el continuo.

Teorema: MA implica que hay conjuntos Luzin y Sierpinski.

Prueba: Para construir un conjunto de Luzin, enumerar todos los conjuntos densos de Borel en ninguna parte en orden de tipo continuo: $\langle F_\alpha;\alpha<\mathfrak{c}\rangle$ . Para cada $\alpha$ elegir algunos $e_\alpha\notin \bigcup_{\beta<\alpha}F_\beta$ ; esto es posible ya que MA implica que la unión de conjuntos menos que continuos es exigua. $E=\{e_\alpha;\alpha<\mathfrak{c}\}$ tiene un tamaño continuo y su intersección con todo conjunto cerrado no denso tiene un tamaño menor que el continuo por construcción. Pero como un conjunto exiguo está contenido en la unión de un número contable de conjuntos densos cerrados en ninguna parte, $E$ debe ser un conjunto de Luzin.

Para construir un conjunto de Sierpinski, sustituya arriba "Borel no denso en ninguna parte" por "Borel de medida cero" y "exiguo" por "de medida cero". $\square$

En particular, esto demuestra que asumir que las características cardinales son grandes no es útil para este problema.

La misma idea de evasión parece también mostrarse:

Teorema: Si $V$ se obtuvo de $W$ añadiendo más de $\mathfrak{c}^W$ muchos reales de Cohen (o aleatorios) a $W$ entonces el conjunto de los reales genéricos es Luzin (o Sierpinski) en $V$ .

Answer 2

En el artículo "Conjuntos incontables de números reales sin subconjuntos incontables de medida cero" se demuestra que bajo la hipótesis del continuo, existe un conjunto incontable de reales que no tiene ningún subconjunto incontable de medida cero. El resultado se debe a Sierpinski [Fundam. Math. 5, 177--187 (1924)].

Observaciones añadidas: He decidido dar una prueba del hecho expuesto anteriormente. Así pues, supongamos $CH$ y que $G_\alpha, \alpha<\omega_1$ sea una enumeración de todos los $G_\delta-$ conjuntos de medida cero. Nótese que su unión es $\mathbb{R}.$ Dejemos que $D_0=G_0$ y para $\alpha>0, D_\alpha=G_\alpha \setminus \bigcup_{\beta<\alpha} G_\beta$ . De nuevo la unión de $D_\alpha$ es $\mathbb{R},$ por lo que un número ilimitado de ellas son no vacías. Sea $A$ contienen un elemento de cada uno de los no vacíos $D_\alpha.$ Es fácil ver que $A$ es como se requiere.

Answer 3

La respuesta a la pregunta 1 es "sí" en el modelo de Cohen.

Más concretamente, añada $\aleph_2$ muchos reales de Cohen a un universo $V_0$ satisfaciendo la CH. (Soporte finito, soporte contable, o todos a la vez usando funciones finitas -- en este caso se puede hacer el continuo arbitrariamente grande).

Cada juego $X$ de tamaño $\aleph_1$ (o más generalmente: menos que el continuo) está en algún modelo intermedio, y el próximo real de Cohen hará $X$ de medida cero.

Ahora dejemos que $Y$ sea un conjunto de tamaño $\aleph_2$ (o continuo). Afirmo que existe un conjunto de medida cero de Borel $B$ con código Borel en $V_0$ que contiene $\aleph_2$ muchos elementos de $Y$ . En efecto, si todo conjunto de Borel codificado en $V_0$ sólo contiene como máximo $\aleph_1$ muchos elementos de $Y$ entonces hay un elemento $y_0$ de $Y$ que no está contenida en ninguno de ellos ( $\aleph_1$ muchos) miden conjuntos cero. Pero entonces $y_0$ es aleatorio sobre $V_0$ . Es bien sabido que no hay reales aleatorios sobre $V_0$ en el modelo de Cohen. (De hecho, los reales de $V_0$ no son escasos en la extensión).

Un argumento similar funciona para la pregunta dual, utilizando reales aleatorios. (Soporte contable, o lateral. De nuevo se puede hacer grande el continuo).

En el modelo Mathias (iteraciones de apoyo contables, el continuo se convierte en $\aleph_2$ ) un argumento similar muestra que todo conjunto de tamaño continuo tiene un subconjunto del mismo tamaño en el modelo de tierra que es escaso, y otro que es de medida cero. (La propiedad de Laver garantiza que no aparecen reales aleatorios o de Cohen). Los conjuntos de tamaño $\aleph_1$ aparecen en una etapa intermedia, y el próximo Mathias real los hará escasos y medirán cero.

Answer 4

Creo que tengo una respuesta completa (pero vea el apartado PS más abajo).

Dejemos que $\mathcal{M}$ (respectivamente, $\mathcal{N}$ ) sea el ideal de la escasa (respectivamente, nula de Lebesgue) en $\mathbb{R}$ .

Dejemos que $\kappa$ sea un cardinal infinito, y $\mathcal{I}$ sea un ideal de conjuntos en $\mathbb{R}$ .

Un conjunto $X\subseteq\mathbb{R}$ es $\kappa$ - $\mathcal{I}$ - Luzin si $|X|\ge\kappa$ pero $|X\cap I|<\kappa$ para cada conjunto $I\in\mathcal{I}$ . En otras palabras, si no tiene ningún subconjunto de cardinalidad $\kappa$ en $\mathcal{I}$ .

Un conjunto $X\subseteq\mathbb{R}$ es Luzin (respectivamente, Sierpi\'nski ) si es $\aleph_1$ - $\mathcal{M}$ -Luzin (respectivamente, $\aleph_1$ - $\mathcal{N}$ - Luzin ).

cov $(\mathcal{I})$ es la cardinalidad mínima de una cobertura de la recta real por elementos de el ideal $\mathcal{I}$ . El siguiente resultado folclórico es fácil.

Teorema: Si cov $(\mathcal{I})={}$ cof $(\mathcal{I})$ entonces hay un cov $(\mathcal{I})$ - $\mathcal{I}$ -Luzin set.

Por lo tanto, la respuesta a Pregunta 1 es "No" si cov $(\mathcal{N})={}$ cof $(\mathcal{N})$ , y de forma similar para Pregunta 2 . Ambas hipótesis se desprenden de CH, MA, etc.

Lema. Supongamos que existe un $\kappa$ - $\mathcal{I}$ - Luzin set $X$ . Entonces, véase $(\kappa)\le{}$ cov $(\mathcal{I})$ .

De hecho, al pasar a un subconjunto de $X$ podemos suponer que $|X|=\kappa$ . Sea $\{I_\alpha : \alpha<\text{cov}(\mathcal{I})\}$ ser una familia en $\mathcal{I}$ cubriendo la línea real. Entonces $$X=\bigcup_{\alpha<\text{cov}(\mathcal{I})} X\cap I_\alpha.$$ Así, $\kappa$ es una unión de $\text{cov}(\mathcal{I})$ conjuntos de cardinalidad menor que $\kappa$ .

Teorema ( Judah, Shelah ): Es coherente que los no $(\mathcal{M})={}$ no $(\mathcal{N})=\aleph_1$ y no hay conjuntos Luzin o Sierpi'nski.

Además, demuestran que un real de Miller mata al conjunto Luzin y Sierpi\'nski del modelo de tierra, e iteran con la iteración del soporte contable.

A continuación, el resultado de consistencia que esperabas.

Teorema. Es consistente que todo conjunto de reales contiene un subconjunto de medida cero y un subconjunto nulo de Lebesgue de la misma cardinalidad.

De hecho, en el modelo de Miller, la no $(\mathcal{M})={}$ no $(\mathcal{N})=\aleph_1$ y el continuo es $\aleph_2$ . Del diagrama de Cihon se deduce que $\text{cov}(\mathcal{M})=\text{cov}(\mathcal{N})=\aleph_1$ allí. Por el lema anterior, no hay $\aleph_2$ - $\mathcal{M}$ -Luzin o $\aleph_2$ - $\mathcal{N}$ -Luzin conjuntos allí. Por el Teorema de Judah--Shelah, tampoco hay $\aleph_1$ - $\mathcal{M}$ -Luzin o $\aleph_1$ - $\mathcal{N}$ -Luzin pone allí.

PS. Estoy escribiendo esto después de toda una noche de trabajo, espero no estropear las cosas.