Deje que $K,L\subset\mathbb R^d$ sean dos conjuntos convexos compactos disjuntos con interiores no vacíos. ¿Puede $x=0$ ser un punto de mínimo local para la función $F(x)=\text{vol}_d(\text{conv(K,L+x))}$ ?
Dan Florentin me hizo esta pregunta hace unas semanas y todavía no puedo responderla en grandes dimensiones (para $d=1,2$ la respuesta es "No"). Cualquier idea será apreciada.
Esta falla ya para $d=3$.
Considere la posibilidad de un tetraedro, por ejemplo, el casco convexo de los puntos de $v_1,v_2,v_3,v_4$. Deje $K$ ser el subconjunto cerrado que consta de $\sum_{i=1}^4 a_i v_i$ con $\sum_{i=1}^4 a_i=1$ e $a_3 +a_4 \leq 1/2-\epsilon$. Deje $L$ se define de forma análoga, pero $a_1+a_2 \leq 1/2-\epsilon$. Claramente el casco convexo de $K$ e $L$ es este tetraedro.
Considere la posibilidad de un cambio de vectores $x$ que reduce el volumen de la convex hull. Por la convexidad se describe en Alexandre respuesta, podemos suponer $x$ es invariante bajo todas las simetrías de la situación. Por la simetría de conmutación $v_1$ e $v_2$ y la de conmutación $v_3$ e $v_4$, $x$ es un múltiplo de $v_1+v_2-v_3-v_4$. Basta considerar el caso en que se trata de un pequeño múltiple positivo. (Para una negativa múltiples, no sólo sería un mínimo local más lejos.)
La oportunidad en el volumen de las pequeñas $x$ es la suma de, para cada cara triangular del tetraedro, la integral del producto escalar de la normal de la superficie de la cara con cualquier vector que describe el cambio en el límite de los poliedros. El producto escalar de la normal de la superficie de cada cara con $x$ es el mismo, a firmar. Si queremos normalizar así que esto es $1$, entonces este producto escalar se encuentran entre $0$ e $1$ en los rostros se extendió por $v_1,v_2,v_3$ e $v_1,v_2,v_4$, y entre los $0$ e $-1$ sobre los espacios atravesados por $v_1,v_3,v_4$ e $v_2,v_3,v_4$.
En la cara $v_1,v_2,v_3$, esta es la máxima convexa de la función que se $0$ a $v_1$ e $v_2$, $1$ a $L$ (que son los puntos de $av_1+bv_2+cv_3$ con $c \geq 1/2 +\epsilon$). En particular, con $c < 1/2+\epsilon$, su valor es $c/(1/2+\epsilon)$. Claramente la integral depende continuamente en $\epsilon$, así que vamos a evaluar en el caso de $\epsilon=0$. Así que la integral de esta función dividida por el área de la cara es $$\frac{ \int_0^{1/2} (1-x) (2x) dx + \int_{1/2}^1 (1-x)dx }{ \int_0^1 (1-x) dx} = \frac{ 1/4 - 1/12 +1/2 - 3/8 }{1/2} = \frac{7}{12}$$
Lo mismo es cierto para la cara $v_1,v_2,v_4$.
En la cara $v_2,v_3,v_4$, esto es de la máxima función cóncava que es $-1$ a $v_3$ e $v_4$ e $0$ siempre $a \geq 1/2+\epsilon$, en otras palabras, cuando $a < 1/2+\epsilon$ es $ -( (1/2+\epsilon)-a )/(1/2+\epsilon)$. De nuevo hay una continuidad y podemos tomar $\epsilon=0$. Entonces la integral es
$$ - \frac{ \int_{0}^{1/2} (1-x) (1-2x) dx } { \int_0^{1} (1-x) dx} =+ \frac{1/2 -3/8 + 1/12}{1/2}= - \frac{5}{12}$$
Debido a $\frac{7}{12}-\frac{5}{12}>0$, el cambio en el $x$ en una dirección positiva, y se queda así, por $\epsilon$ suficientemente pequeño.
Creo que esto puede ayudar a:
Lema. Para cualquiera de los dos conjuntos convexos, y cualquier vector $x$, la función de $F(t)={\mathrm{Vol}}\left(\mathrm{conv}\left(K\cup(L+xt)\right)\right)$ es convexa, como una función de variable real $t$.
Esto es citado en https://math.bme.hu/~ghorvath/surveyonconvhullvolumebeamer1.pdf
con la referencia a
Fary, I., Redei, L. Der zentralsymmetrische Kern und die zentralsymmetrische Hulle von konvexen Korpern. De matemáticas. Annalen. 122 (1950), 205-220.
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