Estructuras en la trama de la "cuadratura" de los números

Question

(Esto se basa en una anterior MSE publicación, "Las estructuras en la trama de la "cuadratura" de los números.")

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Mi pregunta principal es explicar las características estructurales de esta trama:

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Este es un dibujo de lo que yo llamo la cuadratura relación de $r(n)$ de un número natural $n$ (o simplemente la "cuadratura"). La cuadratura $r(n)$ es la mayor proporción de $\le 1$ que se puede obtener mediante la partición de los factores de $n$ en dos partes y la formación de la relación de sus productos. Un cuadrado perfecto tiene cuadratura $1$. Un primer $p$ ha cuadratura $1/p$. En un sentido, la cuadratura mide cerca de es $n$ a un cuadrado perfecto.

La cuadratura ratios para los primeros diez el número de $n=1,\ldots,10$ son $$1,\frac{1}{2},\frac{1}{3} ,1,\frac{1}{5},\frac{2}{3},\frac{1}{7},\frac{1}{2},1,\frac {2}{5} \;.$$ Más sustantivos ejemplo es $n=12600=2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 7$, para que la mayor proporción es de $$\frac{3 \cdot 5 \cdot 7}{2^3 \cdot 3 \cdot 5}=\frac{7}{8}=0.875 \;.$$ Un ejemplo más: $n = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5^2 \cdot 7 \cdot 11 = 69300$, $$r(n) = \frac{2^2 \cdot 3^2 \cdot 7}{5^2 \cdot 11}=\frac{252}{275} \approx 0.92 \;.$$

La única característica de esta trama—los rayos a través del origen—que es es evidente para mí se explica por el hecho de que, para un primer $p$, para $n = k p$ e $k=1,\ldots,p$, la cuadratura relación es $k/p$, y para aquellos las proporciones se encuentran en una recta que pasa por el origen de la pendiente $\frac{1}{p^2}$. MSE usuario PattuX destacó que al igual que los rayos se producen por particular compuesta $n$.

Varias otras características podría utilizar explicación:

(1) El apreciable variación de la densidad en $r=\frac{1}{2}$.

(2) La (aparente) hipérbolas.

(3) La interesante estructura de cerca de $r=1$, tanto negativo (agujero)de las curvas y positivo (dot)de las curvas:

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^{Detalle: $35 K \le n \le 60K$ (aproximadamente), cerca de $r=1$.}

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Les doy la bienvenida explicaciones para (1), (2), (3), y otros aparente características de la parcela. Esto es para satisfacer la curiosidad; es mucho de mi experiencia.

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Añadido(1)

: Según Gerhard Paseman de la solicitud, la parcela con sólo impares $n$ ratios:

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        ^{El encuadre relación $r(n)$ por extraño $n$ solo; incluso $n$ no se trazan.}

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Añadido(2): El paisaje es bastante diferente para mayor $n$ (de conformidad con Lucía ideas):

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        ^{El encuadre relación $r(n)$ para $900{,}000 \le n \le 1{,}000{,}000$.}

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Answer 1

Usted está preguntando acerca de la distribución de $d^2/n$ donde $d$ es la mayor divisor de $n$ bajo $\sqrt{n}$. Esto está estrechamente relacionado con el trabajo en la tabla de multiplicación del problema, del que se desprende que la plaza-ness relación es generalmente cerca de 0. Así que los patrones observados son finalmente insignificante (al menos a la primera orden, que puede ser significativo en los términos de orden inferior) y, finalmente, la trama acaba de ser muy concentrada en la parte inferior.

Para ampliar un poco, Kevin Ford, ha demostrado (a continuación de un trabajo anterior de Erdos y Tenenbaum) que el número de enteros hasta el tamaño de $x$ con un divisor en $y$ a $2y$ es $$ H(x, y, 2y) \asymp \frac{x}{(\log y)^{\delta} (\log \log y)^{3/2}} $$ con $$ \delta = 1 -\frac{1+\log \log 2}{\log 2} = 0.08607\ldots . $$ El uso de este con $y= \sqrt{x}/2$, $\sqrt{x}/4$, $\ldots$, $\sqrt{x}/2^k$, vemos que sólo $\ll k x /((\log x)^{\delta}(\log \log x)^{3/2})$ enteros por debajo de $x$ tiene un divisor en $(\sqrt{x}/2^k, \sqrt{x})$. Tomando $k= 2\log \log x$ (por ejemplo), se deduce fácilmente que el $\ll x/(\log x)^{\delta}$ números por debajo de $x$ tiene una plaza-ness proporción mayor que $1/\log x$.

Answer 2

Al menos parte de las características pueden explicarse trazando$\frac1{r(n)}$, se ve así:

Está más o menos claro que las pendientes son$\frac1{k^2}$,$k=1,2,3,...$

(Entonces, la trama original es una superposición de las hipérbolas correspondientes)

Answer 3

Sólo un comentario adicional: debido a que se ha discutido, si las estructuras deberán ser visibles cuando n aumenta, he pensado, que posiblemente sería interesante cambiar la escala de los ejes. Uno adicional de la trama, los valores originales vuelven a calcular, sino $n$- e $r(n$)-ejes a escala logarítmica para la visualización da esta imagen:

$\qquad \qquad $ ($ \small n \to \log_{10}(n) $ , $ \small r(n) \to \log_{10}(r(n)) $ donde $ \small n=1 \ldots 100 000$, $ \small 0 \lt r(n) \le 1$)

Answer 4

Es cierto que en el largo plazo la mayoría de los puntos están cerca de la parte inferior, pero no son los patrones observados en la porción de muestra. Aquí están algunos comentarios un poco por la corriente de la conciencia orden:

En la parte superior izquierda de la creciente curva de la derecha por debajo de la línea de $y=1$ debe $(k(k-1),1-1/k)$ que es ciertos puntos bastante cerca de a $y=1-1/\sqrt{x}.$ En la trama parece seccionalmente constante, sino que es un artefacto de la representación.

A continuación podemos ver las curvas similares $(k(k-c),1-c/k).$ En el largo plazo, estos se vuelven indistinguibles de $y=1$

Para estar seguro, marca el punto de usar algo como el Arce, que permite la sonda de coordenadas. Algún trabajo de este tipo podría explicar otras características.

A mis ojos, la parte superior de la línea de los (aproximadamente) $35K \le n \le 60K$ trama parece tener $97$ puntos. No debe ser de alrededor de $57$ plazas $(k^2,1)$ en ese rango, entonces, supongo que el $n=k(k-1)$ son indistinguibles, pero el $n=k(k-2)$ son visualmente más bajo.

Viniendo abajo y atrás de cada punto de $(k^2,1)$ tenemos una curva de $(k^2-j^2,\frac{k-j}{k+j})$ Esto es especialmente claro en la trama termina en $n=10^6.$ cada uno de estos romper finalmente, cuando el numerador y el denominador tienen muchos pequeños factores. Por ejemplo, creo que la secuencia que va abajo de (104^2,1) ha $y$ valores $103/105,102/106,\cdots,89/119$ sin embargo, el siguiente punto en que la secuencia de la $(88\cdot 120,\frac{88}{120})$ puede conseguir levantado para reemplazar a $\frac{88}{120}$ con $\frac{96}{110}.$ siento que más podría decirse acerca de cuánto tiempo se tarda antes de que la secuencia puede romper la primera vez que he averiguado. Después de una ruptura con el patrón puede recoger de nuevo como en $\frac{87}{121}$ siguiente es $\frac{86}{122},\frac{85}{123},\cdots$

Estas curvas, que hacer un poco de tiempo son aproximadamente paralelos y se entremezclan son las curvas de $((k+j+1)(k-j),\frac{k-j}{k+j+1}.$ Estos son todos los puntos "muy cerca" $y=1$ (una declaración audaz que necesita justificación.) En el medio , entonces, son de color blanco curvas. Yo recuento $100$ de estas curvas en el trazado que va desde $949^2$ a $1000^2$ que es lo que uno esperaría.

Para $n=2k^2$ podemos obtener el punto de $(n,\frac12).$ puede ser posible tener un punto más alto. En un dramático caso de $(2\cdot 35^2,\frac{49}{50}).$ sin Embargo, para más de $60$ valores $k \le 100$ conseguimos $(2k^2,\frac{1}{2}).$ I no examinar más grande $k.$

Para cualquier punto de $(x,y)$ tenemos el potencial de los puntos de $(cx,\frac{1}{cy})$ para las pequeñas $c.$ podría ser posible tener un mayor$y$, pero si se ejecuta más de una curva, a continuación, una buena fracción de los puntos que podrían transformar esa manera la creación de una nueva curva. Me imagino que las curvas subiendo de $y=1/2$ para $900K \le n \le 1000K$ son (parcial) transforma las líneas bajando de $y=1$ para $450K \le n \le 500K.$ Estos parecen tener un casi reflexión por debajo de $y=1/2$ haciendo de lado las parábolas. No tengo una explicación, pero sospecha que conseguir las coordenadas reales revelaría mucho.

Del mismo modo para cualquier punto de $(x,y)$ tenemos el potencial de los puntos de $(xz^2,y).$ Nuevo, podría ser posible mejorar en esto, en algunos casos, pero que sería más difícil para $y$ más cerca de la $1.$ Igualmente si $z$ tiene grandes divisores relativa a $x.$

Voy a dejar con la generalización de que si tenemos $(x_1,y_1)$ e $(x_2,y_2)$, entonces tenemos el potencial de los puntos de $(x_1x_2,\frac{y_1}{y_2}).$ más de dos curvas , ambos con un gran $y$ valores que podemos obtener paramétrico de las familias, como la $$\left((k^2-u^2)((k+1)^2-v^2),\frac{(k\pm u)(k+1\pm v)}{(k\mp u)(k+1\mp v)}\right).$$ Me imagino que las agrupaciones de puntos, el resultado sería, tal vez, con explicable agujeros.

La celebración, decir $(x_1,y_1)$ constante podría dar transforma de curvas. Sería fácil probar esta con algunas parcelas. Por ejemplo la curva por encima de $(104^2-j^2,\frac{104-j}{104+j})$ combinado con el punto de $(56,7/8)$ da $y=\frac{7(104+j))}{8(104-j})$ para $j=1\cdots 6$ llegar a $\frac{770}{784}$, pero luego cambia a $y=\frac{8(104-j))}{7(104+j})$ a partir de con $776/777.$ Más, algunos de los puntos que podría ser posible para mejorar.