Es bien conocido que el tamaño del conjunto de enteros positivos hasta el $n$ que puede ser escrito como $a^2+b^2$ es asintótica a $C \frac{n}{\sqrt{\log n}}$. Aquí estoy interesado sobre todo en los más débiles hecho de que este conjunto tiene una densidad de $0$.
El último puede ser probado por darse cuenta de que si $m$ es la suma de los cuadrados, no tiene el primer factor de $p\equiv 3 (mod \,4)$ tal que $p\mid m$ pero $p^2\nmid m$. Por lo tanto la densidad de dichos números es en la mayoría de los $$\prod_{p\equiv_4 3} (1-\frac{p-1}{p^2})=0 $$
(más precisa de los límites sobre este producto dará el asintótica $\frac{n}{\sqrt{\log n}}$)
Este resultado es de alguna manera inesperada, ya que muestra que las sumas de cuadrados tienden a "acumular" en sólo un par de lugares donde hay muchas soluciones a $m=a^2+b^2$.
Sin embargo, esta prueba se basa en que "el número teórico de" propiedades de $m=a^2+b^2$ más que en el sumset estructura de las plazas, y se siente que si los número teórico de las propiedades de no existir, podría no ser la "suerte" de que las sumas de cuadrados se acumulan en promedio.
Tal vez el siguiente problema sería mejor comprensión de la sumset estructura, ya que es muy probable que no se induce ninguna descomposición en factores primos propiedades:
Deje $\alpha$ un número irracional (es decir, $\alpha=\sqrt{2}$). Deje $S$ el conjunto de los enteros $n$ de manera tal que el intervalo de $[n,n+1)$ contiene al menos un número de la forma $a^2+\alpha b^2$ para los números enteros $a,b$.
Es la densidad de $S$ positivo?
Existen técnicas conocidas que resolver el problema anterior? O hay al menos heurística que contestar?
Después de todo, es esta acumulación de muchas sumas en algunos lugares una estructura intrínseca a la distribución de las plazas, o es sólo una propiedad que apareció "por casualidad"?
Gracias de antemano.
